Question

Cho hình nón đỉnh S. Xét hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác ngoại tiếp đường tròn đáy của hình nón và có AB=BC=10a,AC=12a góc tạo bởi hai mặt phẳng \(\left(SAB\right)\) và \(\left(ABC\right)\) bằng \(45^{{}^\circ }\) . Tính thể tích khối nón đã cho.

\(A. 9\pi a^{3} .\)

\(B. 27\pi a^{3} . \)

\(C. 3\pi a^{3} . \)

\(D. 12\pi a^{3} \)

Answer 1

Chọn A

Nửa chu vi tam giác \(ABC: p=\frac{10a+10a+12a}{2} =16a\)

Diện tích tam giác ABC là:
\(S=\sqrt{p\left(p-a\right)\left(p-b\right)\left(p-c\right)} \)

\(=\sqrt{16a\left(16a-10a\right)\left(16a-10a\right)\left(16a-12a\right)} =48a^{2}  \)
Mà \(S_{\Delta ABC} =pr\Rightarrow r=\frac{S_{\Delta ABC} }{p} =\frac{48a^{2} }{16a} =3a\),

với r là bán kính của đường tròn đáy nội tiếp tam giác ABC.

Lại có \(\tan \widehat{SIO}=\frac{SO}{IO} \Rightarrow SO=IO.\tan 45{}^\circ =IO=3a\)

Thể tích khối nón là: \(V=\frac{1}{3} SO.\pi .r^{2} =\frac{1}{3} .3a.\pi \left(3a\right)^{2} =9\pi a^{3} .\)