Question

Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có độ dài cạnh bên bằng 3a, đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, góc giữa AC' và mặt phẳng \(\left(BCC'B'\right)\) bằng \(30{}^\circ\) (tham khảo hình vẽ). Diện tích xung quanh của khối trụ ngoại tiếp lăng trụ ABC.A'B'C' bằng

\(A.9\sqrt{2} \pi a^{2} . \)

\(B. 9\left(\sqrt{2} +1\right)\pi a^{2} . \)

\(C. 9\sqrt{3} \pi a^{2} . \)

\(D. 9\pi a^{2} .\)

Answer 1

Chọn A

Gọi I là trung điểm của BC, gọi bán kính của hình trụ là R.

Ta có: \(CC'\bot \left(ABC\right)\Rightarrow CC'\bot AI.\)

Lại có tam giác ABC là tam giác vuông cân tại A

nên \(AI\bot BC\) do đó \(AI\bot \left(BCC'B'\right)\)

hay góc giữa AC' và mặt phẳng \(\left(BCC'B'\right)\) là \(\widehat{IC'A}=30{}^\circ .\)

Xét tam giác AIC' ta có: \(IC'=\frac{AI}{\tan \widehat{IC'A}} =R\sqrt{3} .\)

Xét tam giác CIC' ta có:

\(IC'^{2} =IC^{2} +CC'^{2} \Leftrightarrow 3R^{2} =R^{2} +9a^{2} \Rightarrow R=\frac{3\sqrt{2} a}{2} .\)

Diện tích xung quanh của khối trụ ngoại tiếp lăng trụ ABC.A'B'C' là:
\(S_{xq} =2\pi Rh=2\pi .\frac{3\sqrt{2} a}{2} .3a=9\sqrt{2} \pi a^{2} . \)