ABC.A'B'C'có đáy là ABC cân tại A,AB=4a, AA'=2a. d(A;(A'BC)) bằng a√3.Tính V khối cầu ngoại tiếp ABC.A'B'C'

Question

Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C'có đáy là tam giác ABC cân tại A,AB=4a, AA'=2a khoảng cách từ A đến mặt phẳng (A'BC) bằng \(a\sqrt{3} .\)Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp hình lăng trụ ABC.A'B'C'

\(A. \frac{71\pi \sqrt{57} a^{3} }{27} . B. \frac{73\pi \sqrt{57} a^{3} }{27} .\)

\(C. \frac{79\pi \sqrt{57} a^{3} }{27} . D. \frac{76\pi \sqrt{57} a^{3} }{27} .\)
 

Answer 1

Chọn D

Gọi K là trung điểm BC,

Kẻ \(AH\bot A'K\Rightarrow AK\bot BC \)và\( AA'\bot BC \)( Vì lăng trụ nội tiếp được mặt cầu là lăng trụ đứng)\(\Rightarrow BC\bot \left(AKA'\right)\Rightarrow BC\bot AH\) mà \(AH\bot A'K\Rightarrow AH\bot \left(A'BC\right)\Rightarrow AH=d\left(A;\left(A'BC\right)\right).\)

\(\Delta AA'K\) vuông tại A có \(\frac{1}{AH^{2} } =\frac{1}{AA'^{2} } +\frac{1}{AK^{2} } \Rightarrow AK=\sqrt{\frac{AH^{2} .AA'^{2} }{AA'^{2} -AH^{2} } } =2\sqrt{3} a.\)

\(\Delta ABK\) vuông tại K có \(BK=\sqrt{AB^{2} -AK^{2} } =2a\Rightarrow BC=4a\Rightarrow \Delta ABC\) đều.

Gọi G,G' lần lượt là trọng tâm tam giác ABC,A'B'C', I là trung điểm GG' suy ra I là tâm đường tròn ngoại tiếp lăng trụ ABC.A'B'C'có bán kính \(R=IA=\sqrt{AG^{2} +\left(\frac{AA'}{2} \right)^{2} } =\sqrt{\left(\frac{2}{3} .2\sqrt{3} a\right)^{2} +a^{2} } =\frac{\sqrt{57} }{3} a.\)

Thể tích khối cầu ngoại tiếp lăng trụ ABC.A'B'C'là: \(V=\frac{4}{3} \pi R^{3} =\frac{4}{3} \pi .\left(\frac{\sqrt{57} }{3} \right)^{3} =\frac{76\pi \sqrt{57} a^{3} }{27} .\)