Cho hình lăng trụ đều ABC.A'B'C', biết góc giữa hai mặt phẳng (A'BC) và (ABC) bằng 45° , diện tích...

Question

Cho hình lăng trụ đều ABC.A'B'C', biết góc giữa hai mặt phẳng \(\left(A'BC\right)\) và \(\left(ABC\right)\) bằng \(45{}^\circ\) , diện tích tam giác A'BC bằng \(a^{2} \sqrt{6}\) . Tính thể tích của hình trụ ngoại tiếp hình lăng trụ ABC.A'B'C'.

\(A. \frac{8\sqrt{3} }{3} \pi a^{3} . \)

\(B. 4\sqrt{3} \pi a^{3} . \)

\(C. 8\sqrt{3} \pi a^{3} .\)

\(D. \frac{4\sqrt{3} }{3} \pi a^{3} .\)

Answer 1

Chọn D

Gọi M là trung điểm BC. Khi đó ta có \(BC\bot AM, BC\bot A'M\)

Suy ra: \(\left(\left(A'BC\right),\left(ABC\right)\right)=\widehat{A'MA}=45{}^\circ \Rightarrow A'A=AM\).

Gọi O là trọng tâm tam giác ABC.

Đặt \(BC=x, x>0\). Ta có \(AM=A'A=\frac{x\sqrt{3} }{2} \Rightarrow A'M=\frac{x\sqrt{6} }{2} .\)

Nên \(S_{\Delta A'BC} =\frac{1}{2} .A'M.BC=\frac{x^{2} \sqrt{6} }{4} =a^{2} \sqrt{6} \Rightarrow x=2a.\)

Khi đó: \(AO=\frac{2}{3} AM=\frac{2}{3} .\frac{2a\sqrt{3} }{2} =\frac{2a\sqrt{3} }{3}\)  và\( A'A=a\sqrt{3}\) .

Thể tích khối trụ là: \(V=\pi R^{2} h=\pi .OA^{2} .A'A=\pi \left(\frac{2a\sqrt{3} }{3} \right)^{2} .a\sqrt{3} =\frac{4\sqrt{3} }{3} \pi a^{3} .\)