Cho hàm số y=mcot x+8/2cot x+m (m là tham số thực). Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để...

Question

Cho hàm số \(y=\frac{m\cot x+8}{2\cot x+m}\)  (m là tham số thực). Có bao nhiêu giá trị nguyên của  tham số m để hàm số đồng biến trên khoảng \(\left(\frac{\pi }{4} \, ;\, \frac{\pi }{2} \right)?\)

 A. Vô số.  

B. 7.              

C. 6.                  

D. 5.

Answer 1

Chọn C

Điều kiện xác định: \( \cot x\ne -\frac{m}{2} .\)
\(y'=\frac{\left(m^{2} -16\right)\left(\frac{-1}{\sin ^{2} x} \right)}{\left(2\cot x+m\right)^{2} } . \)

 Hàm số \(y=\frac{m\cot x+8}{2\cot x+m}\)  đồng biến trên

\(\left(\frac{\pi }{4} \, ;\, \frac{\pi }{2} \right) \Leftrightarrow \frac{\left(m^{2} -16\right)\left(\frac{-1}{\sin ^{2} x} \right)}{\left(2\cot x+m\right)^{2} } >0,{\rm \; }\forall x\in \left(\frac{\pi }{4} \, ;\, \frac{\pi }{2} \right).\)
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} {m^{2} -16<0} \\ {-\frac{m}{2} \ne \cot x,{\rm \; }\forall x\in \left(\frac{\pi }{4} \, ;\, \frac{\pi }{2} \right)} \end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} {m^{2} -16<0} \\ {-\frac{m}{2} \notin \left(0\, ;\, 1\right)} \end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} {-4<m<4} \\ {\left[\begin{array}{l} {-\frac{m}{2} \le 0} \\ {-\frac{m}{2} \ge 1} \end{array}\right. } \end{array}\right.  \)
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} {-4<m<4} \\ {\left[\begin{array}{l} {m\ge 0} \\ {m\le -2} \end{array}\right. } \end{array}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} {-4<m\le -2} \\ {0\le m<4} \end{array}\right. . \)
Các giá trị nguyên của m thỏa mãn điều kiện trên là

 \(\left\{-3;-2;0;1;2;3\right\}.\)

 Vậy có 6 giá trị nguyên m thỏa mãn đề bài.