Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn [-2020;2020] sao cho hàm số f(x)=(m-1)x^3+(m-1)x^2 +(2m+1)x+3m-1...

Question

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số mthuộc đoạn \(\left[-2020\, ;\, \, 2020\right]\) sao cho hàm số \(f\left(x\right)=\left(m-1\right)x^{3} +\left(m-1\right)x^{2} +\left(2m+1\right)x+3m-1\)  đồng biến trên \({\rm R}\)?

A. 2018.

B. 2020.

C. 2019.

D.2021.

Answer 1

Chọn B

Tập xác định: \(D={\rm R}.\)

Ta có: \(f'\left(x\right)=3\left(m-1\right)x^{2} +2\left(m-1\right)x+2m+1\)

Để hàm số đã cho đồng biến trên \({\rm R}\) thì \(f'\left(x\right)\ge 0,\, \forall x\in {\rm R}^{} (*) \)

( Dấu "=" xảy  ra tại hữu hạn \(x\in {\rm R}\) )

TH1: \(m-1=0\Leftrightarrow m=1\)

Ta có: \(f'\left(x\right)=3>0,\, \forall x\in {\rm R}\)

nên hàm số đồng biến trên \({\rm R}\Rightarrow m=1\) (nhận).

TH2: \(m\ne 1.\)

Để hàm số đã cho đồng biến trên \({\rm R}\) thì \(f'\left(x\right)\ge 0,\, \forall x\in {\rm R}^{} \)
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} {3\left(m-1\right)>0} \\ {\left(m-1\right)^{2} -3\left(m-1\right)\left(2m+1\right)\le 0} \end{array}\right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} {m>1} \\ {\left(m-1\right)\left(-5m-4\right)\le 0} \end{array}\right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} {m>1} \\ {m\le -\frac{4}{5} \vee m\ge 1} \end{array}\right.\) \(\Leftrightarrow m>1.  \)
Kết hợp 2 TH \(\Rightarrow m\ge 1\stackrel{m\in \left[-2020;2020\right]}{\longrightarrow}m\in \left\{1\, ;2;..;2020\right\}: \)

có 2020 giá trị m thỏa mãn yêu cầu bài toán.