Có tất cả bao nhiêu số nguyên m thuộc khoảng (-10;10) để hàm số y=1/3 e^3x +me^2x+(m-3)e^x+2020 đồng biến...

Question

Có tất cả bao nhiêu số nguyên m thuộc khoảng \(\left(-10;10\right)\) để hàm số  \(y=\frac{1}{3} e^{3x} +me^{2x} +\left(m-3\right)e^{x} +2020\) đồng biến trên khoảng \(\left[0;\ln 2\right]\)?

 A. 10.

B. 20.

C. 9.

D. 11.

Answer 1

Chọn C.

Ta có: \(y'=e^{3x} +2me^{2x} +\left(m-3\right)e^{x} =e^{x} \left(e^{2x} +2me^{x} +m-3\right).\)

Để hàm số \(y=\frac{1}{3} e^{3x} +me^{2x} +\left(m-3\right)e^{x} +2020\)

đồng biến trên khoảng \(\left[0;\ln 2\right]\)

\(\Leftrightarrow y'\ge 0\, \, \forall x\in \left[0;\ln 2\right]\)

\(\Leftrightarrow e^{2x} +2me^{x} +m-3\ge 0\, \, \forall x\in \left[0;\ln 2\right]\)

\( \Leftrightarrow m\ge \frac{3-e^{2x} }{2e^{x} +1} =f\left(x\right)\, \, \, \forall x\in \left[0;\ln 2\right] \Leftrightarrow m\ge {\mathop{{\rm max}}\limits_{\left[0;\ln 2\right]}} f\left(x\right) \)

Đặt \(t=e^{x}\) . Vì \(x\in \left[0;\ln 2\right]\Rightarrow t\in \left[1,2\right]\)

Ta có: \(f\left(x\right)=\frac{3-t^{2} }{2t+1} \)

 Xét \(f'\left(x\right)=\frac{-2t\left(2t+1\right)-2\left(3-t^{2} \right)}{\left(2t+1\right)^{2} } =\frac{-2t^{2} -2t-6}{\left(2t+1\right)^{2} } <0\, \, \forall t\in \left[1;2\right].\)

\(\Rightarrow \) hàm số \(f\left(x\right)\) nghịch biến trên đoạn \(\left[1;2\right]\)

\(\Rightarrow {\mathop{{\rm max}}\limits_{\left[0;\ln 2\right]}} f\left(x\right){\mathop{{\rm =max}}\limits_{\left[1;2\right]}} f\left(t\right)=f\left(1\right)=\frac{2}{3}  \Rightarrow m\ge \frac{2}{3}  .\)

 Vì \(m\in Z,m\in \left(-10;10\right)\Rightarrow\) có 9 số nguyên m thỏa mãn