Cho hàm số f(x)=mx^4+2x^2-1 với m là tham số thực. Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của m thuộc...

Question

Cho hàm số \(f\left(x\right)=mx^{4} +2x^{2} -1\) với m là tham số thực. Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của m thuộc khoảng \(\left(-2020;2020\right)\) sao cho hàm số đã cho đồng biến trên khoảng \(\left(0;\frac{1}{2} \right)\)?

A.2024.

B.2017.

C.2016.

D.4036.

Answer 1

Chọn D
\(y'=4mx^{3} +4x=4x\left(mx^{2} +1\right). \)
\(m\ge 0: y'=4x\left(mx^{2} +1\right)\ge 0\Leftrightarrow x\ge 0\)

\(\Rightarrow \) Hàm số đồng biến trên \(\left(0;+\infty \right)\Rightarrow m\ge 0\) thỏa mãn.
\(m<0: y'=0\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} {x=0} \\ {x^{2} =-\frac{1}{m} } \end{array}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} {x=0} \\ {x=\pm \sqrt{-\frac{1}{m} } } \end{array}\right. . \)
BBT:

Dựa vào BBT, hàm số đồng biến trên khoảng

\(\left(0;\frac{1}{2} \right)\Leftrightarrow \sqrt{-\frac{1}{m} } \ge \frac{1}{2} \Leftrightarrow -\frac{1}{m} \ge \frac{1}{4} \Leftrightarrow m\le -4.\)

So với điều kiện \(\Rightarrow m\le -4.\)

Mặt khác, theo giả thiết \(\left\{\begin{array}{l} {m\in \left(-2020;2020\right)} \\ {m\in {\rm Z}} \end{array}\right.\).

suy ra có 4036 giá trị nguyên của mthỏa mãn yêu cầu bài toán.