Question

Trong mặt phẳng cho 9 điểm có tọa độ nguyên, trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng. Hỏi trong số các tam giác tạo thành từ 3 trong 9 điểm đó có ít nhất bao nhiêu tam giác có diện tích nguyên.

Answer 1

Gọi \(A(x_A;y_A);B(x_b;y_B);C(x_C;y_C)\). Khi đó \(S_{ABC}=\dfrac{1}{2}|(x_C-x_A)(y_B-y_A)-(x_B-x_a)(y_C-y_A)|\)  (1)

Xét 9 điểm \(A,B,C,D,E,F,G,H,I\) có tọa độ nguyên. Khi đó tọa độ của chúng có một trong các dạng sau: (chẵn, chẵn); (lẻ; lẻ); (lẻ; chẵn) và (chẵn; lẻ).

Do đó theo nguyên lí Dirichlet tồn tại ít nhất \(\begin{bmatrix} \dfrac{9}{4} \end{bmatrix} +1=3\) điểm cùng thuộc một dạng. Giả sư đó là ba điểm \(A,B,C\)

Với hai điểm \(A,B\) có tọa độ cùng tính chẵn, lẻ thì \((x_B-x_A)\) và \((y_B-y_A)\) đều là số chẵn nên theo (1) diện tích tam giác có cạnh AB là số nguyên.

Tương tự diện tích tam giác có cạnh là AC, BC đều nguyên. Với mỗi 2 trong 3 điểm A, B, C kết hợp với 6 đỉnh còn lại thì được 6 tam giác có diện tích nguyên.

Vậy có ít nhất \(3.6+1=19\) tam giác có diện tích nguyên.