Question

Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n≥1 ta có bất đẳng thức \(|sin \ nx|<n|sin \ x| \ , \ \forall x \in R\)

Answer 1

* Với \(n= 1\) ta có: \(VT=|sin(1.x)|=1.|sinx| =VP\) nên đẳng thức cho đúng.
* Giả sử đẳng thức cho đúng với \(n=k;k\in \mathbb{N}^*\), tức là: \(|sinkx| \leq k|sinx|\) (1)
Ta phải chứng minh đẳng thức đúng với \(n=k+1\),tức là:
 \(|sin(k+1)x| \leq (k+1)|sinx|\) (2)
Thật vậy:
\(|sin(k+1)x|=|sinkx.cosx+coskx.sinx|\)
\(\leq |sinkx|.|cosx|+|coskx|.|sinx|\leq |sinkx|+|sinx|\)
\(\leq k|sinx|+|sinx|=(k+1)|sinx|\)
Vậy đẳng thức đúng với \(n=k+1\), nên đẳng thức đúng với mọi số nguyên dương n. (ĐPCM)