Cho y=ax+b/cx+d. Gọi gđ của 2 đường tiệm cận là I. ​Điểm Mo trên (C), tt tại đó cắt 2 tc tại A,B và SΔIAB=2. ​

Question

Cho hàm số \(y=\frac{ax+b}{cx+d} \) có đồ thị (C). Gọi giao điểm của hai đường tiệm cận là I. Điểm \(M_{0} \left(x_{0} ;\, y_{0} \right)\) di động trên (C), tiếp tuyến tại đó cắt hai tiệm cận lần lượt tại A,B và \(S_{\Delta IAB} =2\). Tìm giá trị \(IM_{0} {}^{2} \) sao cho \(\frac{S_{1} +S_{2} }{S_{\Delta IAB} } =1\) (với S1 ,S2  là 2 hình phẳng minh họa bên dưới)

A. 2.

B. \(\frac{41}{20} .\)

C. \(\frac{169}{60} .\)

D.\( \frac{189}{60} .\)

Answer 1

Nhận thấy kết quả bài toán không thay đổi khi ta tịnh tiến đồ thị \(\left(C\right) theo \overrightarrow{IO}\). Khi đó hai tiệm cận của (C) là hai trục tọa độ.

Và hàm số của đồ thị (C) trở thành: \(y=\frac{\alpha }{x} \, \, \left(\alpha >0\right)\Rightarrow y'=-\frac{\alpha }{x^{2} } .\)

Gọi d là tiếp tuyến tại \(M_{0} \left(x_{0} ;y_{0} \right)\Rightarrow d:y=-\frac{\alpha }{x_{0}^{2} } \left(x-x_{0} \right)+\frac{\alpha }{x_{0} } =-\frac{\alpha }{x_{0}^{2} } x+\frac{2\alpha }{x_{0} } \)

Suy ra: \(Ox\cap d=A\left(2x_{0} ;0\right) và Oy\cap d=B\left(0;\frac{2\alpha }{x_{0} } \right)\)
\(\Rightarrow S_{\Delta OAB} =\frac{1}{2} OA.OB=2\alpha \Rightarrow 2a=2\Rightarrow \alpha =1\)

\(\Rightarrow \left(c\right)y=\frac{1}{x} ,\, \, d:y=-\frac{1}{x_{0}^{2} } x+\frac{2}{x_{0} } ,\, \, B\left(0;\frac{2}{x_{0} } \right),\, \, C\left(\frac{x_{0} }{2} ;\frac{2}{x_{0} } \right)\Rightarrow \left(c\right)y=\frac{1}{x} ,\, \, d:y=-\frac{1}{x_{0}^{2} } x+\frac{2}{x_{0} } ,\, \, B\left(0;\frac{2}{x_{0} } \right),\, \, C\left(\frac{x_{0} }{2} ;\frac{2}{x_{0} } \right)\)

\(\Rightarrow S_{1} =\frac{1}{2} x_{0} \left(\frac{2}{x_{o} } -\frac{1}{x_{0} } \right)-\int _{\frac{x_{0} }{2} }^{x_{0} }\left(\frac{2}{x_{0} } -\frac{1}{x} \right) dx=\frac{3}{x_{0}^{2} } -\frac{1}{2} \Rightarrow S_{1} =\frac{1}{2} x_{0} \left(\frac{2}{x_{o} } -\frac{1}{x_{0} } \right)-\int _{\frac{x_{0} }{2} }^{x_{0} }\left(\frac{2}{x_{0} } -\frac{1}{x} \right) dx=\frac{3}{x_{0}^{2} } -\frac{1}{2} \)

Và \(S_{2} =\int _{x_{0} }^{2x_{0} }\left(\frac{1}{x} \right)dx-\frac{1}{2} \left(2x_{0} -x_{0} \right)\frac{1}{x_{0} } =\frac{3}{4x_{0}^{2} } -\frac{1}{2}  \)

Theo giả thiết \(\frac{S_{1} +S_{2} }{S_{\Delta IAB} } =1\Rightarrow S_{1} +S_{2} =S_{\Delta IAB} \Rightarrow \frac{3}{x_{0}^{2} } +\frac{3}{4x_{0}^{2} } -1=2\Rightarrow x_{0}^{2} =\frac{5}{4} \Rightarrow y_{0}^{2} =\frac{4}{5} \)

Vậy \(IM_{0} {}^{2} =x_{0}^{2} +y_{0}^{2} =\frac{41}{20} .\)