Khi V khối nón (N') lớn nhất thì mặt cầu ngoại tiếp nón (N') có tọa độ tâm I(a;b;c) bán kính là d. Giá trị a+b+c+d bằng

Question

Trong không gian Oxyz, cho hai điểm \(C\left(-1;2;11\right),H(-1;2;-1)\), hình nón (N) có đường cao CH=h và bán kính đáy là \(R=3\sqrt{2}\). Gọi M là điểm trên đoạn CH, (C) là thiết diện của mặt phẳng (P) vuông góc với trục CH tại M của hình nón (N). Gọi (N') là khối nón có đỉnh H đáy là (C). Khi thể tích khối nón (N') lớn nhất thì mặt cầu ngoại tiếp nón (N') có tọa độ tâm I(a;b;c) bán kính là d. Giá trị a+b+c+d bằng

A. 1

B. 3

C. 6

D. -6
 

Answer 1

Chọn C

Đặt HM=x, 0\(R=3\sqrt{2} \)

Khi đó C, I, H thẳng hàng (I nằm giữa C, H).

Do \(\Delta CEM{\bf }\Delta CQH nên \frac{EM}{QH} =\frac{CM}{CH} \Leftrightarrow EM=\frac{QH.CM}{CH} \Leftrightarrow r=EM=FM=\frac{R\left(h-x\right)}{h} \)

Thể tích của khối nón đỉnh O đáy là (C) là
\(V=\frac{1}{3} \pi EM^{2} .HM=\frac{1}{3} \pi \left[\frac{R\left(h-x\right)}{h} \right]^{2} x=\frac{1}{3} \pi \frac{R^{2} }{h^{2} } \left(h-x\right)^{2} x.\)
Ta có Xét hàm số \(f\left(x\right)=\frac{1}{3} \pi \frac{R^{2} }{h^{2} } \left(h-x\right)^{2} x, \left(0<x<h\right)\)
\(f'\left(x\right)=\frac{1}{3} \pi \frac{R^{2} }{h^{2} } \left(h-x\right)\left(h-3x\right); f'\left(x\right)=0\Leftrightarrow \frac{1}{3} \pi \frac{R^{2} }{h^{2} } \left(h-x\right)\left(h-3x\right)\Leftrightarrow x=\frac{h}{3} .\)
Lập bảng biến thiên ta có

Từ bảng biến ta có thể tích khối nón đỉnh O đáy là (C) lớn nhất khi \(x=\frac{h}{3} \)

Chú ý: Có thể đánh giá dựa vào 

\(\left(h-x\right)^{2} x=(h-x)(h-x)x=\frac{1}{2} (h-x)(h-x)2x\le \frac{1}{2} (\frac{h-x+h-x+2x}{3} )^{3} \)với 0\((h-x)=(h-x)=2x\Leftrightarrow x=\frac{h}{3} \)

Khi đó \(HM=x=\frac{h}{3} =4, r=\frac{R.CM}{h} =\frac{R.(h-x)}{h} =2\sqrt{2} =MF\)

Gọi P là giao điểm của HM với mặt cầu ngoại tiếp nón (N'). Ta có \(\Delta HFP\) vuông tại F\(\Rightarrow HF^{2} =HM.HP\)
\(\Leftrightarrow HM^{2} +MF^{2} =HM.HP\Leftrightarrow 16+\left(2\sqrt{2} \right)^{2} =4.HP\Rightarrow HP=6\)
\(\Rightarrow d=HI=3=\frac{1}{4} HC\Rightarrow \overrightarrow{HI}=\frac{1}{4} \overrightarrow{HC}\Rightarrow I(-1;2;2).\)
Vậy a+b+c+d=6