​Lấy M thuộc (P):y=x2−4x+3 và N thuộc (C):(x−5)2+(y+1)2=1 sao cho đoạn MNngắn nhất. Tính đoạn MN. ​

Question

Lấy M thuộc \(\left(P\right):y=x^{2} -4x+3 \)và N thuộc \(\left(C\right):\left(x-5\right)^{2} +\left(y+1\right)^{2} =1\) sao cho đoạn MNngắn nhất. Tính đoạn MN.

\(A.\sqrt{2} -1. B.\sqrt{3} -1.\)

\(C.\sqrt{6} -1. D.\sqrt{5} -1.\)
 

Answer 1

Chọn D

Gọi \(N'=IM\cap \left(C\right).\)

Với điểm Nbất kỳ thuộc \(\left(C\right)ta có NI+NM\ge IM\, \, \, \, \, \left(1\right) \)

Gọi \(M'\in \left(P\right) \)sao cho tiếp tuyến d tại M'vuông góc với IM'

Gọi \(K=d\cap IM.\)

Ta có\( IM\ge IK\ge IM'\, \, \, \, \left(2\right)\)

Từ \(\left(1\right)và \left(2\right)\) ta có \(NI+NM\ge IM'\Rightarrow NM\ge IM'-NI\Rightarrow NM\ge IM'-R.\)

Dấu "="xảy ra \(\Leftrightarrow M\equiv M' và N=IM'\cap \left(C\right). Khi đó NM=IM-R\)

Ta có \(\left(C\right)có tâm I\left(5;-1\right)\) và bán kính R=1.

Gọi \(M\left(x_{0} ;x_{0} {}^{2} -4x_{0} +3\right)\in \left(P\right).\) Ta có y'=2x-4. Khi đó phương trình tiếp tuyến d tại Mlà:
\(\[d:\, \, \, y=\left(2x_{0} -4\right)\left(x-x_{0} \right)+x_{0} {}^{2} -4x_{0} +3\] \)
\(\[\Leftrightarrow y=\left(2x_{0} -4\right)x-x_{0} {}^{2} +3.\] \)
\(\[\Leftrightarrow \left(2x_{0} -4\right)x-y-x_{0} {}^{2} +3=0.\] \)
Ta có \(d\bot IM\Rightarrow \overrightarrow{u_{d} }\bot \overrightarrow{IM}\Rightarrow \overrightarrow{u_{d} }.\overrightarrow{IM}=0.\)
\(\[\Leftrightarrow \left(x_{0} -5\right)+\left(2x_{0} -4\right)\left(x_{0} {}^{2} -4x_{0} +4\right)=0.\] \)
\(\[\Leftrightarrow 2x_{0} {}^{3} -12x_{0} {}^{2} +25x_{0} -21=0\Leftrightarrow x_{0} =3.\] \)
Vậy \(M\left(3;0\right).\)

Khi đó \(IM=\sqrt{\left(3-5\right)^{2} +\left(0-1\right)^{2} } =\sqrt{5} .\)
\(\[NM=IM-R=IM-1=\sqrt{5} -1.\] \)