Hình nón đỉnh S có R đáy bằng acăn3, góc ở đỉnh là 120độ. Thiết diện qua đỉnh là tam giác. Smax của thiết điện đó là? ​

Question

Một hình nón đỉnh S có bán kính đáy bằng \(a\sqrt{3}\) , góc ở đỉnh là 120 độ. Thiết diện qua đỉnh của hình nón là một tam giác. Diện tích lớn nhất S max  của thiết điện đó là bao nhiêu?

A. \(S_{\max } =2a^{2} .\)

B. \(S_{\max } =a^{2} \sqrt{2} .\)

C. \(S_{\max } =4a^{2} .\)

D. \(S_{\max } =\frac{9a^{2} }{8} .\)

Answer 1

Chọn A

Giả sử O là tâm đáy và AB là một đường kính của đường tròn đáy hình nón. Thiết diện qua đỉnh của hình nón là tam giác cân SAM. Theo giả thiết hình nón có bán kính đáy \(R=OA=a\sqrt{3} \, {\rm cm}, \widehat{ASB}=120^{0}\)  nên \(\widehat{ASO}=60^{0} \). Xét tam giác SOA vuông tại O, ta có: \\(sin 60^{0} =\frac{OA}{SA} \Rightarrow SA=\frac{OA}{\sin 60^{0} } =2a.\)

Diện tích thiết diện là:\( S_{\Delta SAM} =\frac{1}{2} SA.SM.\sin \widehat{ASM}=\frac{1}{2} 2a.2a.\sin \widehat{ASM}=2a^{2} \sin \widehat{ASM}\)

Do \(0<\sin \widehat{ASM}\le 1\) nên \(S_{\Delta SAM}\)  lớn nhất khi và chỉ khi \(\sin \widehat{ASM}=1\) hay khi tam giác ASM vuông cân tại đỉnh \(S (vì \widehat{ASB}=120^{0} >90^{0}\)  nên tồn tại tam giác ASM thỏa mãn).

Vậy diện tích thiết diện lớn nhất là: \(S_{\max } =2a^{2}  (đvtt).\)