​Gọi M,N tương ứng thuộc cạnh BC và AD sao cho BM=2MC,AN=2ND. Chứng minh I,J,M,N cùng thuộc 1 mặt phẳng. ​

Question

Cho tứ diện ABCD có I,J tương ứng lần lượt là trung điểm các cạnh AB và CD. Gọi M,N tương ứng thuộc cạnh BC và AD sao cho BM=2MC,AN=2ND. Chứng minh\( I,{\rm \; }J,{\rm \; }M,{\rm \; }N \)cùng thuộc một mặt phẳng. 
 

Answer 1

Cách 1: Ta có:

\(\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AD}=\left(\overrightarrow{BI}+\overrightarrow{IJ}+\overrightarrow{JC}\right)+\left(\overrightarrow{AI}+\overrightarrow{IJ}+\overrightarrow{JD}\right)\)
\(=2\overrightarrow{IJ}+\left(\overrightarrow{BI}+\overrightarrow{JC}\right)+\left(\overrightarrow{AI}+\overrightarrow{JD}\right)=2\overrightarrow{IJ}\)
\(\[\Leftrightarrow \overrightarrow{IJ}=\frac{1}{2} \left(\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AD}\right)\] \)

Mặt khác, ta có \(\overrightarrow{IJ}=\overrightarrow{IM}+\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{CJ} \)
\(\[\overrightarrow{IJ}=\overrightarrow{IN}+\overrightarrow{ND}+\overrightarrow{DJ}\Rightarrow 2\overrightarrow{IJ}=\overrightarrow{IM}+\overrightarrow{IN}+\left(\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{ND}\right)+\left(\overrightarrow{CJ}+\overrightarrow{DJ}\right)\] \)
\(\[\Leftrightarrow 2\overrightarrow{IJ}=\overrightarrow{IM}+\overrightarrow{IN}+\frac{1}{3} \left(\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AD}\right)\Leftrightarrow 2\overrightarrow{IJ}=\overrightarrow{IM}+\overrightarrow{IN}+\frac{2}{3} \overrightarrow{IJ}\Leftrightarrow \overrightarrow{IJ}=\frac{3}{4} \left(\overrightarrow{IM}+\overrightarrow{IN}\right)\] \)
Suy ra \(\overrightarrow{IJ},{\rm \; }\overrightarrow{IM},{\rm \; }\overrightarrow{IN}\) đồng phẳng. Do đó \(I,{\rm \; }J,{\rm \; }M,{\rm \; }N\) cùng thuộc một mặt phẳng.

Cách 2: Dùng đinh lý menelaus

Gọi \(K=IN\cap BD.\) Khi đó theo định lý menelaus ta có 

\(I,{\rm \; }N,{\rm \; }K\) thẳng hàng \(\Leftrightarrow \frac{IA}{IB} .\frac{KB}{KD} .\frac{ND}{NA} =1\Rightarrow \frac{KB}{KD} =2\left(1\right). \)

Gọi \(K'=MJ\cap BD. \)Khi đó theo định lý menelaus ta có 

\(M,{\rm \; J},{\rm \; }K' \)thẳng hàng \(\Leftrightarrow \frac{MB}{MC} .\frac{JC}{JD} .\frac{K'D}{K'B} =1\Rightarrow \frac{K'B}{K'D} =2\left(2\right). \)

Từ \(\left(1\right),\left(2\right)\Rightarrow K=K'\Leftrightarrow I,{\rm \; }J,{\rm \; }M,{\rm \; }N\) đồng phẳng.