Cho tứ diện ABCD có ABCˆ=BCDˆ=CDAˆ=900,BC=a,CD=2a,cos((ABC),(ACD)ˆ)=130√65.Tính VABCD.

Question

Cho tứ diện ABCD có\( \widehat{ABC}=\widehat{BCD}=\widehat{CDA}=90^{0} ,BC=a,CD=2a, \cos \left(\widehat{\left(ABC\right),\left(ACD\right)}\right)=\frac{\sqrt{130} }{65} .\)Tính thể tích khối tứ diện ABCD. 

\(A. \frac{a^{3} }{3} . B. a^{3} .\)

\(C. \frac{2a^{3} }{3} . D. 3a^{3} .\)
 

Answer 1

Chọn B

Gọi Olà hình chiếu của A trên \(\left(BCD\right). \)

Dễ thấy\( BC\bot \left(AOB\right) ;CD\bot \left(AOD\right)\Rightarrow BC\bot BO; CD\bot OD \Rightarrow BCDO\) là hình chữ nhật.

Đặt OA=h, Chọn hệ tọa độ Oxyz: \(O\left(0;0;0\right),B\left(2a;0;0\right),C\left(2a;a;0\right),A\left(0;0;h\right),D\left(0;a;0\right) \)
\(\[\Rightarrow \left[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{BC}\right]=a\left(h;0;2a\right)\)

\(;\left[\overrightarrow{AC},\overrightarrow{CD}\right]=2a\left(0;h;a\right)\] \)
\(\Rightarrow \overrightarrow{n_{1} }=\left(h;0;2a\right) và \overrightarrow{n_{2} }=\left(0;h;a\right) lần lượt là vtpt của \left(ABC\right) và \left(ACD\right) \)
\(\[\Rightarrow \left|\cos \left(\overrightarrow{n_{1} },\overrightarrow{n_{2} }\right)\right|=\frac{\sqrt{130} }{65}\)

\(\Leftrightarrow \frac{2a^{2} }{\sqrt{\left(h^{2} +4a^{2} \right)\left(h^{2} +a^{2} \right)} } =\frac{\sqrt{130} }{65} \] \)
\(\[\Leftrightarrow \left(\frac{h}{a} \right)^{4} +5\left(\frac{h}{a} \right)^{2} -126=0\Leftrightarrow \left(\frac{h}{a} \right)^{2} =9\Leftrightarrow h=3a\] \)
\(\[\Rightarrow V_{ABCD} =\frac{1}{3} .\frac{1}{2} .a.2a.3a=a^{3} \]  \)