Tìm số hạng không chứa x trong khai triển nhị thức Newton (x2−2x)^n biết rằng C2n=36.

Question

Tìm số hạng không chứa x trong khai triển nhị thức Newton \(\left(x^{2} -\frac{2}{x} \right)^{n}\)  biết rằng \(C_{n}^{2} =36.  \)

Answer 1

Điều kiện \(x\ne 0,n\in {\rm N}^{*} \, ;\, n\ge 2.\)

Ta có: \(C_{n}^{2} =36 \)
\(\Leftrightarrow \frac{n!}{\left(n-2\right)!.2!} =36 \Leftrightarrow \frac{n\left(n-1\right)}{2} =36\Leftrightarrow n^{2} -n-72=0\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} {n=-8\, \, \, \left(L\right)} \\ {n=9\, \, \, \, \, \left(TM\right)} \end{array}\right. . \)
Suy ra \(P\left(x\right)=\left(x^{2} -\frac{2}{x} \right)^{9}  \)

Số hạng tổng quát trong khai triển là~: \(T_{k+1} =C_{9}^{k} .\left(x^{2} \right)^{9-k} .\left(-\frac{2}{x} \right)^{k} =\left(-1\right)^{k} .C_{9}^{k} .2^{k} .x^{18-3k} \, \, \left(k\in {\rm N}\, ;\, k\le 9\right). \)

Số hạng không chứa \(x\Leftrightarrow  18-3k=0\Leftrightarrow k=6\, \, \, \left(TM\right).\)

Vậy số hạng cần tìm là \(\left(-1\right)^{6} .C_{9}^{6} .2^{6} =5376.\)