A(0;0;-2) và Δ:x+2/2=y−2/3=z+3/2. Tính d(A;Δ). Viết pt mặt cầu tâm A, cắt Δ tại B,C sao cho BC=8

Question

Cho điểm \(A\left(0\, ;\, 0\, ;\, -2\right)\)và đường thẳng \(\Delta :\frac{x+2}{2} =\frac{y-2}{3} =\frac{z+3}{2} . \)Tính khoảng cách từ A đến Δ. Viết phương trình mặt cầu tâm A, cắt Δ tại hai điểm B, Csao cho BC=8

Answer 1

Gọi \(I\left(-2+2t\, ;\, \, 2+3t\, ;\, -3+2\, t\right)\in \Delta\)  là hình chiếu của A lên Δ

 Ta có \(\overrightarrow{AI}=\left(-2+2t\, ;\, \, 2+3t\, ;\, -1+2\, t\right).\)

\( \overrightarrow{u}=\left(2\, ;\, \, 3\, ;\, \, 2\right)\) là VTCP của đường thẳngΔ

 Khi đó \(\overrightarrow{AI}.\overrightarrow{u}=0\Leftrightarrow -4+4t+6+9t-2+4t=0\Leftrightarrow t=0, suy ra d\left(A;\, \Delta \right)=AI=3.\)

 Gọi R là bán kính mặt cầu đã cho. Khi đó \(R=\sqrt{\left(\frac{BC}{2} \right)^{2} +AI^{2} } =5 .\)

 Phương trình mặt cầu cần tìm: \(x^{2} +y^{2} +\left(z+2\right)^{2} =25.\)