Cho d1:x−1/1=y−1/2=z−1/2;d2:x/1=y+1/2=z−3/−2. Viết ptđt k qua M(2;3;1): k cắt d1,d2 tại N,E thành ANE cân tại E.

Question

Cho hai đường thẳng \(d_{1} :\frac{x-1}{1} =\frac{y-1}{2} =\frac{z-1}{2} ; d_{2} :\frac{x}{1} =\frac{y+1}{2} =\frac{z-3}{-2} .\) Viết phương trình đường thẳng k đi qua \(M\left(2\, ;\, 3\, ;\, 1\right)\) sao cho k cắt \(d_{1} \, ;\, d_{2} \) tại N và E tạo thành tam giác ANE cân tại A. Khi đó, viết phương trình chính tắc của đường phân giác của các góc tạo bởi \(d_{1}  và d_{2} .\)

Answer 1

\(k\cap d_{2} =E\left(t'\, ;\, -1+2t'\, ;\, 3-2t'\right)\Rightarrow AE=\sqrt{\left(t'-1\right)^{2} +\left(2t'-2\right)^{2} +\left(2-2t'\right)^{2} } =3\left|t'-1\right|~; \left(t'\ne 1\right). \)
\(k\cap d_{1} =N\left(1+t;1+2t;1+2t\right)\Rightarrow AN=3\left|t\right|~; \left(t\ne 0\right). \)
\(AE=AN\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} {t'=t+1} \\ {t'=1-t} \end{array}\right.  \)
M,N,E cùng phương khi và chỉ khi \(\left[\overrightarrow{MN}\, ,\, \overrightarrow{ME}\right]=\overrightarrow{0}.\)

Với \(t'=t+1\Rightarrow E\left(1+t;1+2t;1-2t\right)\Rightarrow \overrightarrow{ME}=\left(t-1;2t-2;-2t\right);\, \, \overrightarrow{MN}=\left(t-1;2t-2;2t\right)\)
\(\left[\overrightarrow{MN},\overrightarrow{ME}\right]=\left(-8t^{2} +8t;4t^{2} -4t;0\right)=\overrightarrow{0}\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} {t=1\Rightarrow t'=2\, \, \left(t/m\right)} \\ {t=0\, \, \left(l\right)} \end{array}\right.  .\) 
\(\overrightarrow{MN}=\left(0;0;2\right)\Rightarrow k:\left\{\begin{array}{l} {x=2} \\ {y=3} \\ {z=1+t} \end{array}\right.  \)

Với \(t'=1-t\Rightarrow E\left(1-t;1-2t;1+2t\right)\Rightarrow \overrightarrow{ME}=\left(-1-t;-2-2t;2t\right) \left[\overrightarrow{MN},\overrightarrow{ME}\right]=\left(8t^{2} ;-4t;0\right)\)

\(=\overrightarrow{0}\Leftrightarrow t=0\, \, \left(l\right). \)
Vậy phương trình tham số của đường thẳng k là \(\left\{\begin{array}{l} {x=2} \\ {y=3} \\ {z=1+t} \end{array}\right. .\)

( Có một đường phân giác góc A đi qua điểm M )
Ta có hai đường thẳng cắt nhau tại điểm \(A\left(1;1;1\right).\)

Với t=1 ta được điểm \(M\left(2;3;3\right)\) thuộc đường thẳng d1 . Lấy điểm \(N\left(t';-1+2t';3-2t'\right)\) thuộc đường thẳng d2  sao cho AN=AM=3.

Khi đó \(\sqrt{\left(t'-1\right)^{2} +\left(2t'-2\right)^{2} +\left(2-2t'\right)^{2} } =3 \Leftrightarrow 3\left|t'-1\right|=3\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} {t'=2} \\ {t'=0} \end{array}\right. \)

TH1: Với t'=2 ta được điểm \(N\left(2;3;-1\right)\) thuộc đường thẳng d2 . Khi đó AN=AM=3 vậy tam giác AMN cân tại điểm \(A\left(1;1;1\right).\)

Gọi H là trung điểm MN thì \(H\left(2;3;1\right).\) Khi đóAH chính là đường phân giác của góc tạo bởi d1  và d2 .

\(\overrightarrow{AH}=\left(1;2;0\right)\) là một vectơ chỉ phương của đường thẳng AH nên phương trình tham số của đường phân giác là \(\left\{\begin{array}{l} {x=1+m} \\ {y=1+2m} \\ {z=1} \end{array}\right. \) và không có phương trình chính tắc.

TH2: Với t'=0 ta được điểm \(N\left(0;-1;3\right)\) thuộc đường thẳng d2 . Khi đó AN=AM=3  vậy tam giác AMN cân tại điểm \(A\left(1;1;1\right).\)

Gọi H là trung điểm MN thì \(H\left(1;1;3\right). \)Khi đóAH chính là đường phân giác của góc tạo bởi \(d_{1}  và d_{2} \).

\(\overrightarrow{AH}=\left(0;0;2\right)\) nên chọn một vectơ chỉ phương của đường thẳng AH là \(\overrightarrow{u}=\left(0;0;1\right).\)

Vậy phương trình đường phân giác là \(\left\{\begin{array}{l} {x=1} \\ {y=1} \\ {z=1+m} \end{array}\right. \) và không có phương trình chính tắc.