S.ABCD. M, N là 2đ trên AB, CD, (P) qua MN và //SA. G1,G2 là trtâm SAB và SBD. Tìm đk của MN để thiết diện là hthang.

Question

Cho hình chóp S.ABCD. M,N là hai điểm trên AB,CD, mặt phẳng (P) là mặt phẳng qua MN và song song với SA. \(G_{1} ,\, G_{2}\)  lần lượt là trọng tâm tam giác SAB và tam giác SBD.Tìm điều kiện của MN để thiết diện là hình thang.
 

Answer 1

Tìm điều kiện của MN để thiết diện là hình thang.

Ta có MPQN là hình thang \(\Rightarrow \left[\begin{array}{l} {MP\, {\rm //}\, QN\, \, \left(1\right)} \\ {MN{\rm //}\, PQ\, \, \left(2\right)} \end{array}\right.  .\)

Xét (1) ta có \(\left\{\begin{array}{l} {SA\, {\rm //\; }MP} \\ {MP\, {\rm //}\, QN} \end{array}\right. \Rightarrow SA\, {\rm //\; }QN.\)

Do đó:\( \left\{\begin{array}{l} {SA\, {\rm //\; }QN} \\ {QN\subset \left(SCD\right)} \end{array}\right. \Rightarrow SA\, {\rm //\; }\left(SCD\right) \) (vô lí).

Xét (2) ta có \(\left\{\begin{array}{l} {BC=\left(ABCD\right)\cap \left(SBC\right)} \\ {MN\subset \left(ABCD\right),PQ\subset \left(SBC\right)} \end{array}\right. \Rightarrow MN{\rm //}\, BC .\)

Ngược lại, nếu \(MN{\rm //}BC thì \left\{\begin{array}{l} {PQ=\left(P\right)\cap \left(SBC\right)} \\ {MB\subset \left(P\right),BC\subset \left(SBC\right)} \end{array}\right. \Rightarrow MN{\rm //}PQ.\)

Vậy để thiết diện là hình thang thì \(MN{\rm //}BC.\)