d:x+12=y1=z−21,(P):x+y−2z+5=0vàA(1;−1;2). Viết ptdt Δ cắt d và (P) tại M, N sao cho A là trung điểm MN.

Question

Cho \(d:\frac{x+1}{2} =\frac{y}{1} =\frac{z-2}{1} , \left(P\right):x+y-2z+5=0 và A\left(1\, ;\, -1\, ;\, 2\right).\) Viết phương trình đường thẳng \(\Delta\)  cắt d và (P) tại M và N sao cho A là trung điểm của đoạn thẳng MN.
 

Answer 1

Đường thẳng d có phương trình tham số là: \(\left\{\begin{array}{l} {x=-1+2t} \\ {y=t} \\ {z=2+t} \end{array}\right. \left(t\in {\rm R}\right).\)

+ Vì \(M\in d\) nên\( M\left(2t-1\, ;\, t\, ;\, t+2\right)\) với t là tham số.

\(A\left(1\, ;\, -1\, ;\, 2\right)\) là trung điểm của đoạn thẳng \(MN \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} {x_{A} =\frac{x_{M} +x_{N} }{2} } \\ {y_{A} =\frac{y_{M} +y_{N} }{2} } \\ {z_{A} =\frac{z_{M} +z_{N} }{2} } \end{array}\right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} {x_{N} =2x_{A} -x_{M} =-2t+3} \\ {y_{N} =2y_{A} -y_{M} =-t-2} \\ {z_{N} =2z_{A} -z_{M} =-t+2} \end{array}\right. .\)

Suy ra: \(N\left(-2t+3\, ;\, -t-2\, ;\, -t+2\right). \)

+ Do \(N\in \left(P\right)\) nên ta có: \(\left(-2t+3\right)+\left(-t-2\right)-2\left(-t+2\right)+5=0\Leftrightarrow t=2.\)

Do đó \(M\left(3\, ;\, 2\, ;\, 4\right), N\left(-1\, ;\, -4\, ;\, 0\right). Suy ra \overrightarrow{MN}=\left(-4\, ;\, -6\, ;\, -4\right).\)

+ Đường thẳng \(\Delta  \)có một vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow{MN}=\left(-4\, ;\, -6\, ;\, -4\right) \)và đi qua \(M\left(3\, ;\, 2\, ;\, 4\right) \)nên

phương trình chính tắc của đường thẳng \(\Delta  là: \frac{x-3}{-4} =\frac{y-2}{-6} =\frac{z-4}{-4} .\)