Cm 2 mặt cầu x2+y2+z2−2x+2y−4z−3=0,x2+y2+z2+4x−2z−11=0 cắt nhau. Xác định tâm và R của đtròn gt

Question

Chứng minh hai mặt cầu \(x^{2} +y^{2} +z^{2} -2x+2y-4z-3=0, x^{2} +y^{2} +z^{2} +4x-2z-11=0 \)cắt nhau. Xác định tâm và bán kính của đường tròn giao tuyến.
 

Answer 1

Mặt cầu \(\left(S_{1} \right):x^{2} +y^{2} +z^{2} -2x+2y-4z-3=0 có tâm I_{1} \left(1;-1;2\right)\) và bán kính \(R_{1} =3.\)

Mặt cầu\( \left(S_{2} \right):x^{2} +y^{2} +z^{2} +4x-2z-11=0 có tâm I_{2} \left(-2;0;1\right)\) và bán kính \(R_{2} =4. \)

Ta có\( I_{1} I_{2} =\sqrt{11} \) suy ra\( \left|R_{1} -R_{2} \right|<I_{1} I_{2} <R_{1} +R_{2} \) nên hai mặt cầu \(\left(S_{1} \right) và \left(S_{2} \right)\) cắt nhau.

Đường tròn giao tuyến có bán kính là \(r=\frac{\sqrt{\left(3+4+\sqrt{11} \right)\left(3+4-\sqrt{11} \right)\left(3-4+\sqrt{11} \right)\left(-3+4+\sqrt{11} \right)} }{2.\sqrt{11} } =\sqrt{\frac{95}{11} } .\)
Gọi K là tâm đường tròn giao tuyến ta có \(\overrightarrow{I_{1} K}=\frac{2}{11} \overrightarrow{I_{1} I_{2} }\) suy ra \(K\left(\frac{5}{11} ;\frac{-9}{11} ;\frac{20}{11} \right).\)