d:x+1/1=y/2=z−2/1 và I(0;0;3). Viết pt mặt cầu (S) tâm I cắt d tại A,B sao cho IAB vuông tại I

Question

Cho đường thẳng \(d:\, \frac{x+1}{1} =\frac{y}{2} =\frac{z-2}{1} \) và điểm \(I\left(\, 0\, ;\, 0\, ;\, 3\, \right).\) Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I cắt d tại A và B sao cho tam giác IAB vuông tại I.
 

Answer 1

 Đường thẳng d qua \(M\left(-1\, ;\, 0\, ;\, 2\right)\)và có một vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow{a}=\left(1\, ;\, 2\, ;\, 1\right).\)

 Ta có IA=IB=R nên tam giác IAB vuông cân tại I.

 Gọi H là trung điểm AB, suy ra IH là đường cao.

 Ta có: \(\overrightarrow{IM}=\left(\, -1\, ;\, 0\, ;\, -1\right), \left[\overrightarrow{IM}\, ,\, \overrightarrow{a}\right]=\left(2\, ;\, 0\, ;-\, 2\right).\)
\(IH=d\left(I,\, d\right)=\frac{\left|\left[\overrightarrow{IM}\, ,\, \overrightarrow{a}\right]\right|}{\left|\overrightarrow{a}\right|} =\frac{2\sqrt{3} }{3} \Rightarrow AB=\frac{4\sqrt{3} }{3} \Rightarrow R=IA=IB=\frac{2\sqrt{6} }{3} . \)

 Mặt cầu (S) có tâm \(I\left(\, 0\, ;\, 0\, ;\, 3\, \right)và R=\frac{2\sqrt{6} }{3}\)  nên có phương trình là: \(x^{2} +y^{2} +\left(z-3\right)^{2} =\frac{8}{3} .\)