ABCD.A'B'C'D'với A(0;0;0),B(1;0;0),D(0;1;0),A′(0;0;1).M,N là trung điểm AB,CD.Tính d(A'C,MN)

Question

Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D'với \(A\left(0;0;0\right),B\left(1\, ;\, 0\, ;\, \, 0\right),\, D\left(0\, ;1\, ;0\right),A'\left(0\, ;0\, ;1\right). \)Gọi M,Nlần lượt là trung điểm AB,CD.Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng A'C,MN.
 

Answer 1

Ta có hệ trục như hình vẽ

Nên \(C\left(1\, ;\, 1\, ;\, 0\right), M\left(\frac{1}{2} \, ;\, 0\, ;\, 0\right), N\left(\frac{1}{2} \, ;\, 1\, ;\, 0\right)\) (Do M,N là trung điểm AB và CD).

Khi đó: \(\left[\begin{array}{l} {\overrightarrow{A'C}=\left(1\, ;\, 1\, ;\, -1\right)\, } \\ {\overrightarrow{MN}=\left(0\, ;\, 1\, ;\, 0\right)\, } \end{array}\right. \Rightarrow \left[\overrightarrow{A'C}\, ;\, \overrightarrow{MN}\right]=\left(1\, ;\, 0\, ;\, 1\right);\overrightarrow{A'M}=\left(\frac{1}{2} \, ;\, 0\, ;\, -1\right).\)

Vậy \(d\left(A'C,MN\right)=\frac{\left|\left[\overrightarrow{A'C}\, ;\, \overrightarrow{MN}\right].\overrightarrow{A'M}\right|}{\left|\left[\overrightarrow{A'C}\, ;\, \overrightarrow{MN}\right]\right|} =\frac{\left|\frac{1}{2} -1\right|}{\sqrt{2} } =\frac{\sqrt{2} }{4} .\)