Question

Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là hai điểm cố định trên AB, AC và MN không song song với BC. Mặt phẳng \(\left(\alpha \right)\) quay quanh MN cắt các cạnh BD, CD lần lượt tại E và F.

a) Chứng minh rằng đường thẳng EF luôn đi qua một điểm cố định.

b) Chứng minh giao điểm của ME và NF thuộc một đường thẳng cố định.

Answer 1

a) Trong mặt phẳng\( \left(ABC\right)\), gọi \(K=MN\cap BC\)

nên K cố định và K là điểm chung của mặt phẳng \(\left(\alpha \right)\) 

và mặt phẳng \(\left(BCD\right).\)

Mặt khác \(\left(BCD\right)\cap \left(\alpha \right)=EF\) nên \(K\in EF.\)

Vậy đường thẳng EF luôn đi qua điểm cố định K.

b) Trong mặt phẳng \(\left(\alpha \right)\), gọi \(I=ME\cap NF\).

Do \(\left\{\begin{array}{l} {I\in ME,\, \, ME\subset \left(ABD\right)} \\ {I\in NF,\, \, NF\subset \left(ACD\right)} \end{array}\right. \)

\(\Rightarrow\) I là điểm chung của mặt phẳng \(\left(ACD\right)\) và \(\left(ABD\right)\).

Mặt khác \(\left(ACD\right)\cap \left(ABD\right)=AD \) nên \(I\in AD\) cố định.

Vậy giao điểm I của ME và NF thuộc đường thẳng cố định AD.