(P):2x−2y−z−4=0 và (S):x2+y2+z2−2x−4y−6z−11=0. Cm (P) cắt (S) theo gtuyến là đtr (C). Tìm tâm và R của (C).

Question

Cho mặt phẳng\( \left(P\right):2x-2y-z-4=0 \)và mặt cầu .\(\left(S\right):x^{2} +y^{2} +z^{2} -2x-4y-6z-11=0 . \)CMR mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là một đường tròn (C). Tìm toạ độ tâm và bán kính của (C)
 

Answer 1

Mặt cầu (S) có tâm\( I\left(1 ; 2 ;3\right) \), bán kính R=5 

Ta có \(d\left(I ; \left(P\right)\right)=3<R . \)

Chứng tỏ mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là 1 đường tròn (C) có tâm 

H là hình chiếu vuông góc của I trên mặt phẳng (P) và bán kính \(r=\sqrt{R^{2} -\left(d\left(I ; \left(P\right)\right)\right)^{2} } =\sqrt{25-9} =4\)

Gọi \(H\left(x_{H}  ; y_{H}  ; z_{H} \right) ta có \overrightarrow{n}\left(2 ; -2 ; -1\right)\) là một véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng (P)

Ta có \(\overrightarrow{IH}=t\overrightarrow{n}\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} {x_{H} -1=2t} \\ {y_{H} -2=-2t} \\ {z_{H} -3=-t} \end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} {x_{H} =1+2t} \\ {y_{H} =2-2t} \\ {z_{H} =3-t} \end{array}\right.  \)

Mặt khác \(H\in \left(P\right)\) ta có \(2\left(1+2t\right)-2\left(2-2t\right)-\left(3-t\right)-4=0\Leftrightarrow t=1. \)

\(Vậy H\left(3 ; 0 ; 2\right).\)