(P):x−2y+2z+1=0 và (S):x2+y2+z2−4x+6y+6z+17=0. Tìm tâm I và R của (C) là giao tuyến của (P) và (S)

Question

Cho mặt phẳng \(\left(P\right):   x-2y+2z+1=0\) và mặt cầu \(\left(S\right):    x ^{2} +y^{2} +z^{2} -4x +6y+6z+17=0\) . Tìm tọa độ tâm và bán kính của đường tròn (C) là giao tuyến của mặt phẳng (P) và mặt cầu (S)
 

Answer 1

Mặt cầu (S) có tâm\( I\left(2;  -3\_ ;  -3\right),\) bán kính \(R=\sqrt{5} .\)

Ta có \(d\left(I,\left(P\right)\right)=1.\)

Gọi H là hình chiếu vuông góc của I lên mặt phẳng (P). Suy ra H là tâm của đường tròn (C)

Đường thẳng d qua I và vuông góc với mặt phẳng (P)  có phương trình\( \left\{\begin{array}{l} {x=2+t} \\ {y=-3-2t} \\ {z=-3+2t} \end{array}\right.  \)
\(H\in d\Rightarrow H\left(2+t; -3-2t;- 3+2t\right), H\in \left(P\right)\Rightarrow 2+t-2\left(-3-2t\right)+2\left(-3+2t\right)+1=0 \Rightarrow t=\frac{-1}{3} . \)
Ta có\( H\left(\frac{5}{3} ; \frac{-7}{3} \_ ; \frac{-11}{3} \right). \)

Bán kính của đường tròn \(\left(C\right) là: r=\sqrt{5-1} =2.\)