(S):x2+y2+z2−2x+4y−2z−8=0. Cm (P):2x+3y+z−11=0 tx (S). Tìm tọa độ tiếp điểm.

Question

Cho mặt cầu \(\left(S\right):x^{2} +y^{2} +z^{2} -2x+4y-2z-8=0. \)Chứng minh rằng mặt phẳng \(\left(P\right):2x+3y+z-11=0\) tiếp xúc với mặt cầu (S). Tìm toạ độ tiếp điểm.
 

Answer 1

Mặt cầu \(\left(S\right)\) có tâm\( I\left(1 ; -2 ;1\right), R=\sqrt{14} .\)

Ta có \(d\left(I ;\left(P\right)\right)=\sqrt{14} =R.\)

Chứng tỏ mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu (S) tại tiếp điểm H là hình chiếu vuông góc của I lên mặt phẳng (P)
Gọi \(H\left(x_{H}  ; y_{H}  ; z_{H} \right)\Rightarrow \overrightarrow{IH}\left(x_{H} -1 ; y_{H} +2 ; z_{H} -1\right)  \overrightarrow{n}\left(2 ; 3 ;1\right)\) là 1 véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng (P)

Ta có \(\overrightarrow{IH}=t\overrightarrow{n} \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} {x_{H} -1=2t} \\ {y_{H} +2=3t} \\ {z_{H} -1=t} \end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} {x_{H} =1+2t} \\ {y_{H} =-2+3t} \\ {z_{H} =1+t} \end{array}\right.  \)

Mặt khác \(H\in \left(P\right)\) ta có \(2\left(1+2t\right)+3\left(-2+3t\right)+\left(1+t\right)-11=0\Leftrightarrow t=1 \)

Vậy \(H\left(3 ; 1 ;2\right) \)