(P):6x+3y−2z−1=0 và (S):x2+y2+z2−6x−4y−2z−11=0. Cm (P) cắt (S) theo giao tuyến là đtr (C). Tìm tâm (C).

Question

Cho mặt phẳng \(\left(P\right):6x+3y-2z-1=0 \)và\( \left(S\right):x^{2} +y^{2} +z^{2} -6x-4y-2z-11=0 .\)CMR mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S)  theo giao tuyến là một đường tròn (C).Tìm toạ độ tâm của (C). 
 

Answer 1

Mặt cầu (S) có tâm\( I\left(3 ; 2 ; 1\right)\) , bán kính R=5 

Ta có  \(d\left(I ; \left(P\right)\right)=3<R . \)

Chứng tỏ mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là 1 đường tròn (C). 

Gọi H là hình chiếu vuông góc của I trên mặt phẳng (P) thì H chính là tâm đường tròn (C)

Gọi \(H\left(x_{H}  ; y_{H}  ; z_{H} \right), \)ta có \(\overrightarrow{IH}\left(x_{H} -3 ; y_{H} -2 ; z_{H} -1\right) và \overrightarrow{n}\left(6 ; 3 ; -2\right)\)là 1 véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng (P)

Ta có \(\overrightarrow{IH}=t\overrightarrow{n} \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} {x_{H} -3=6t} \\ {y_{H} -2=3t} \\ {z_{H} -1=-2t} \end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} {x_{H} =3+6t} \\ {y_{H} =2+3t} \\ {z_{H} =1-2t} \end{array}\right.  \)

Mặt khác \(H\in \left(P\right)\) ta có \(6\left(3+6t\right)+3\left(2+3t\right)-2\left(1-2t\right)-1=0\Leftrightarrow t=-\frac{3}{7}  . Vậy H\left(\frac{3}{7}  ; \frac{5}{7}  ; \frac{13}{7} \right)  \)