Cm 2 đt d1:x−11=y−22=z−33vàd2:x=2−ty=−1+tz=t chéo nhau. Tính d giữa 2 đường thẳng đó

Question

Chứng minh rằng hai đường thẳng \(d_{1} :\frac{x-1}{1} =\frac{y-2}{2} =\frac{z-3}{3}  và d_{2} :\left\{\begin{array}{l} {x=2-t} \\ {y=-1+t} \\ {z=t} \end{array}\right.  \)chéo nhau. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng đó.
 

Answer 1

Đường thẳng d_{1}  qua M(1;2;3)và có VTCP \overrightarrow{u}=(1;2;3).

Đường thẳng d_{2}  qua N(2;-1;0)và có VTCP\( \overrightarrow{v}=(-1;1;1).\)

Dễ thấy \(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\) không cùng phương; Do đó d1 và d2  hoặc là cắt nhau hoặc chéo nhau.

Xét \(\left[\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right]=\left(\left|\begin{array}{cc} {2} & {3} \\ {1} & {1} \end{array}\right|;\left|\begin{array}{cc} {3} & {1} \\ {1} & {-1} \end{array}\right|;\left|\begin{array}{cc} {1} & {2} \\ {-1} & {1} \end{array}\right|\right)=\left(-1;-4;3\right). \overrightarrow{MN}=\left(1;-3;-3\right). \)
Ta có: \(\left[\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right].\overrightarrow{MN}=\left(-1\right).1+\left(-4\right).\left(-3\right)+3.\left(-3\right)=2\ne 0.\)

Vậy d1 và d2  chéo nhau.

Khoảng cách giữa d1 và d2  là:
\(\left[\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right].\overrightarrow{MN}=\left(-1\right).1+\left(-4\right).\left(-3\right)+3.\left(-3\right)=2\ne 0.\)