Chào mừng bạn đến với Selfomy Hỏi Đáp, hãy Hỏi bài tập hoặc Tham gia ngay
Đặt câu hỏi

Cho ... Chứng minh bất đẳng thức sau: .....

+1 thích
99 lượt xem
trong Toán lớp 9 bởi datptm2205 ● Cộng Tác Viên Thần đồng (1.3k điểm)

Cho a, b, c > 0 và \frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}+\frac{1}{1+c}\geq 2. Chứng minh abc\leq \frac{1}{8}.

 

1 Câu trả lời

+1 thích
bởi datptm2205 ● Cộng Tác Viên Thần đồng (1.3k điểm)
 
Hay nhất

Ta có: \frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}+\frac{1}{1+c}\geq 2 \Leftrightarrow \frac{1}{1+a}\geq 1-\frac{1}{1+b}+1-\frac{1}{1+c}

\Leftrightarrow \frac{1}{1+a}\geq \frac{b}{1+b}+\frac{c}{1+c}

Áp dụng Bất đẳng thức Cauchy cho 2 số không âm: \frac{1}{1+a}\geq \frac{b}{1+b}+\frac{c}{1+c}\geq 2\sqrt{\frac{bc}{(1+b)(1+c)}}

Chứng minh tương tự, ta có: \frac{1}{1+b}\geq 2\sqrt{\frac{ac}{(1+a)(1+c)}}; \frac{1}{1+c}\geq 2\sqrt{\frac{ab}{(1+a)(1+b)}}

 

\Rightarrow \frac{1}{1+a}.\frac{1}{1+b}.\frac{1}{1+c} \geq 8\sqrt{\frac{a^2b^2c^2}{(1+a)^2(1+b)^2(1+c)^2}}

\Rightarrow \frac{1}{(1+a)(1+b)(1+c)} \geq 8\frac{abc}{(1+a)(1+b)(1+c)}

\Rightarrow abc\leq\frac{1}{8}

Dấu "=" xảy ra khi a = b = c = \frac{1}{2}

Vậy ta có đpcm.

Các câu hỏi liên quan

0 phiếu
0 câu trả lời 65 lượt xem
Cho x, y, z>0. CM bất đẳng thức:
Cho x, y, z>0. CMR: \({{\sqrt{xy}\over 1+\sqrt{yz} }+{1\over {\sqrt{xy}+\sqrt{yz}}} +{\sqrt {2.\sqrt{yz}\over 1+\sqrt{xy}} }}\geq 2\)
đã hỏi 15 tháng 5, 2021 trong Toán lớp 9 bởi phatnguyen25 Thần đồng (1.4k điểm)
0 phiếu
1 trả lời 1.3k lượt xem
Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn abc=1. CM 1/(a^2 + 2b^2 + 3) + 1/ (b^2 + 2c^2 + 3) + 1/(c^2 + 2a^2 + 3) <= 1/2
Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn abc=1.CMR:
đã hỏi 16 tháng 6, 2020 trong Toán lớp 8 bởi phatnguyen25 Thần đồng (1.4k điểm)
+1 thích
0 câu trả lời 421 lượt xem
Xét các số thực a, b, c lớn hơn 1 thỏa mãn 2a + 2b + 2c = 3abc. Tìm giá trị nhỏ nhất có thể được của biểu thức
xét các số thực a,b,c lớn hơn 1 thõa mãn 2a+2b+2c=3abc. Tìm giá trị nhỏ nhất của P=
đã hỏi 30 tháng 7, 2020 trong Toán lớp 9 bởi Phan Thị Thanh Trà Thần đồng (552 điểm)
+3 phiếu
2 câu trả lời 191 lượt xem
Cho a,b,c>0. Chứng minh bất đẳng thức sau:
Cho a,b,c>0, a+b+c=1. Chứng minh bất đẳng thức sau:.
đã hỏi 6 tháng 8, 2020 trong Toán lớp 9 bởi minhtiendailqa4a3324 Thạc sĩ (5.5k điểm)
0 phiếu
1 trả lời 69 lượt xem
Chứng minh các bất đẳng thức sau
Chứng minh các bất đẳng thức: a) (a + b)² ≤ 2(a² + b²) b) (a + b + c)² ≤ 3(a²+ b²+ c²)
đã hỏi 7 tháng 5, 2022 trong Toán lớp 9 bởi thuythanh1905207625 Thần đồng (924 điểm)
+3 phiếu
1 trả lời 886 lượt xem
Lấy ngẫu nhiên một số tự nhiên có 5 chữ số. Xác suất chọn được số tự nhiên có dạng a1a2a3a4a5 mà...
Lấy ngẫu nhiên một số tự nhiên có 5 chữ số. Xác suất để chọn được số tự nhiên có dạng a1a2a3a4a5 mà a1 ≤ a2 + 1 ≤ a3 − 3 < a4 ≤ a5 + 2 bằng (đáp án: 1001/45000)    
đã hỏi 11 tháng 6, 2020 trong Toán lớp 11 bởi boybanhbeo Thần đồng (995 điểm)
+4 phiếu
1 trả lời 149 lượt xem
[Tổ hợp] Nhân ngày 8/3 muộn và Valentine Trắng, các bạn nam lớp 10CT2 - ChLHP 1821 đến cửa hàng hoa để mua hoa ...
Nhân ngày 8/3 muộn và Valentine trắng, các bạn nam lớp 10CT2 - ChLHP 1821 đến cửa hàng hoa để mua hoa tặng 13 bạn nữ và cô chủ nhiệm l&#7899 ... loại hoa (không nhất thiết cả 3 loại hoa đều được chọn)?
đã hỏi 27 tháng 12, 2019 trong Toán lớp 11 bởi datptm2205 ● Cộng Tác Viên Thần đồng (1.3k điểm)
+2 phiếu
1 trả lời 77 lượt xem
Chứng minh bất đẳng thức
Cho x,y,z >0. Chứng minh rằng: 
đã hỏi 7 tháng 8, 2020 trong Toán lớp 9 bởi minhtiendailqa4a3324 Thạc sĩ (5.5k điểm)
0 phiếu
0 câu trả lời 102 lượt xem
Chứng minh bất đẳng thức sau:
Chứng minh bất đẳng thức:
đã hỏi 7 tháng 11, 2023 trong Toán lớp 8 bởi phamngoctienpy1987844 Phó giáo sư (50.6k điểm)
0 phiếu
1 trả lời 101 lượt xem
Chứng minh bất đẳng thức sau:
Chứng minh bất đẳng thức trên
đã hỏi 26 tháng 3, 2019 trong Toán bởi Lettet_123 Học sinh (20 điểm)

HOT 1 giờ qua

Thành viên tích cực tháng 06/2024
  1. phamngoctienpy1987844

    50628 Điểm

  2. vxh2k9850

    35940 Điểm

  3. Khang1000

    29748 Điểm

  4. Tí Vua Đệ Nhất

    28073 Điểm

Phần thưởng hằng tháng
Hạng 1: 200.000 đồng
Hạng 2: 100.000 đồng
Hạng 3: 50.000 đồng
Hạng 4: 20.000 đồng
Phần thưởng bao gồm: mã giảm giá Shopee, Nhà Sách Phương Nam, thẻ cào cùng nhiều phần quà hấp dẫn khác sẽ dành cho những bạn tích cực nhất của tháng. Xem tại đây
Bảng xếp hạng cập nhật 30 phút một lần
Nhãn hiệu, logo © 2024 Selfomy
Về Selfomy
...