Chứng minh rằng PQRS là hình bình hành.

Question

Cho tứ diện ABCD. Một mặt phẳng (α) song song với AC và BD cắt tứ diện theo thiết diện là tứ giác PQRS.

1. Chứng minh rằng PQRS là hình bình hành.
2. Xác định mặt phẳng (α) để PQRS là hình thoi.
3. Xác định mặt phẳng (α) để PQRS có diện tích lớn nhất.

Answer 1

PS//BD⇒PSBD=PAABPS//BD⇒PSBD=PAAB

Nên PS=BDAB.PA.PS=BDAB.PA.                 (3)

Vì PQ//AC⇒PQAC=PBABPQ//AC⇒PQAC=PBAB

Nên PQ=ACAB.PB.PQ=ACAB.PB.                 (4)

Tứ giác PQRS là hình thoi khi và chỉ khi PS = PQ

⇔BD.PA=AC.PB⇔PAPB=ACBD(5)⇔BD.PA=AC.PB⇔PAPB=ACBD(5)

 

Tứ giác PQRS là hình thoi khi và chỉ khi mp(α)mp(α) qua điểm P (được xác định bởi (5)) đồng thời song song với cả AC và BD.