Question

Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF không cùng thuộc một mặt phẳng và có tâm lần lượt là O và O'. Trên các đường chéo AC, BF lấy các điểm M và N sao cho \(\frac{AM}{AC} =\frac{BN}{BF} =\frac{1}{3}\) . 

 Chứng minh rằng:

a) \({\rm O}{\rm O}'\, {\rm //}\, {\rm EC}\, {\rm //}\, {\rm DF}\)               

b) \(MN\, //\, DE\)
 

Answer 1

a)  Xét \(\Delta ACE\) có

\(\left\{\begin{array}{l} {O\, là\, \, trung\, điểm\, AC} \\ {O'\, là\, \, trung\, điểm\, AE} \end{array}\right. \Rightarrow OO'//EC\quad \left(1\right) \)
 

Xét \(\Delta BDF\) có
\(\left\{\begin{array}{l} {O\, là\, \, trung\, điểm\, BD} \\ {O'\, là\, \, trung\, điểm\, BF} \end{array}\right. \Rightarrow OO'//DF\quad \left(2\right) \)

Từ \(\left(1\right) và \left(2\right)\) suy ra \({\rm O}{\rm O}'\, {\rm //}\, {\rm EC}\, {\rm //}\, {\rm DF}.\)

 

b) Ta có  \(\frac{AM}{AC} =\frac{BN}{BF} =\frac{1}{3} \Rightarrow \frac{AM}{AO} =\frac{BN}{BO'} =\frac{2}{3} .\)

Mà AO và BO' lần lượt  là đường trung tuyến của \( \Delta ABD\) và \(\Delta BAE\).

Do đó M, N lần lượt là trọng tâm \(\Delta ABD\) và \(\Delta BAE.\)

Gọi K là trung điểm của BE. Khi đó ta có \(\frac{AN}{AK} =\frac{AM}{AO} =\frac{2}{3} \)

\(\Rightarrow MN//OK\quad \left(1\right)\)

Mặt khác \(OK//DE\; \left(vì\; OK\; là\; đường\; trung\; bình\; \Delta BDE\right)\quad \; \left(2\right)\)

Từ \(\left(1\right)\) và \(\left(2\right)\) suy ra \(MN\, //\, DE.\)