Cho hàm số bậc ba y=f(X) có đồ thị là đường cong ở hình bên dưới. ​ Tính tỉ số S1/S2.

Question

Cho hàm số bậc ba y=f(X) có đồ thị là đường cong ở hình bên dưới. Gọi x1, x2 lần lượt là hai điểm cực trị thỏa mãn x2 =x1 +2 và \(f\left(x_{1} \right)-3f\left(x_{2} \right)=0.\) Đường thẳng song song với trục Ox và qua điểm cực tiểu cắt đồ thị hàm số tại điểm thứ hai có hoành độ x0 và x1 =x0 +1. Tính tỉ số \(\frac{S_{1} }{S_{2} }  (S_{1}  \) và S2 lần lượt là diện tích hai hình phẳng được gạch ở hình bên dưới

\(A. \frac{27}{8} . \)

\(B. \frac{5}{8} .\)

\(C. \frac{3}{8} .\)

\(D. \frac{3}{5} .\)
 

Answer 1

Chọn A

+) Gọi \(f\left(x\right)=ax^{3} +bx^{2} +cx+d, với a>0 \Rightarrow f'\left(x\right)=3ax^{2} +2bx+c.\)

+) Theo giả thiết ta có \(f'\left(x_{1} \right)=f'\left(x_{2} \right)=0\Rightarrow f'\left(x\right)=3a\left(x-x_{1} \right)\left(x-x_{2} \right)=3a\left(x-x_{1} \right)\left(x-x_{1} -2\right)\)
\(\Rightarrow f'\left(x\right)=3a\left(x-x_{1} \right)^{2} -6a\left(x-x_{1} \right).\)\( \Rightarrow f\left(x\right)=\int f'\left(x\right){\rm d}x =a\left(x-x_{1} \right)^{3} -3a\left(x-x_{1} \right)^{2} +C.\)
+) Ta có \(f\left(x_{1} \right)-3f\left(x_{2} \right)=0\Rightarrow f\left(x_{1} \right)-3f\left(x_{1} +2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow C-3\left(8a-12a+C\right)=0\Leftrightarrow -2C+12a=0\Leftrightarrow C=6a.\)
Do đó \(f\left(x\right)=a\left(x-x_{1} \right)^{3} -3a\left(x-x_{1} \right)^{2} +6a.\)

+) S_{2}  là diện tích hình chữ nhật có cạnh bằng 3 và và f\left(x_{2} \right)=8a-12a+6a=2a

+) S_{1}  là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường x=x_{0} =x_{1} -1,\; x=x_{2} =x_{1} +2, y=f\left(x_{2} \right)=2a và f\left(x\right)=a\left(x-x_{1} \right)^{3} -3a\left(x-x_{1} \right)^{2} +6a nên suy ra
\[S_{1} =\int _{x_{1} -1}^{x_{1} +2}\left[f\left(x\right)-2a\right]{\rm d}x =\int _{x_{1} -1}^{x_{1} +2}\left[a\left(x-x_{1} \right)^{3} -3a\left(x-x_{1} \right)^{2} +4a\right]{\rm d}x \] 
\[=\left. \left[\frac{a\left(x-x_{1} \right)^{4} }{4} -3a\frac{\left(x-x_{1} \right)^{3} }{3} +4ax\right]\right|_{x_{1} -1}^{x_{1} +2} =\frac{27a}{4} .\] 
Vậy \frac{S_{1} }{S_{2} } =\frac{27}{8} .