Question

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành với O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD. Gọi E là điểm thuộc đoạn OC (E không trùng với O và C) và M thuộc đoạn SA (M không trùng với S và A).

 a) Xác định giao tuyến của mặt phẳng \(\left(MDE\right)\) và mặt phẳng \(\left(SAB\right).\)

 b) Tìm giao điểm N của SB và \(\left(MDE\right).\)

 c) Chứng minh rằng \(SO,\, ME,\, DN\) đồng quy.

Answer 1

a) Trong mặt phẳng \( \left(ABCD\right)\), gọi \(H=DE\cap AB.\)

 Khi đó ta có: \(\left\{\begin{array}{l} {H\in DE} \\ {H\in AB} \end{array}\right.\) \(\Rightarrow \left\{\begin{array}{l} {H\in \left(MDE\right)} \\ {H\in \left(SAB\right)} \end{array}\right.\)

\( \Rightarrow H\in \left(MDE\right)\cap \left(SAB\right)\qquad \left(1\right)\)

 Lại có \(M\in \left(MDE\right)\cap \left(SAB\right)\qquad \left(2\right)\)

 Từ \(\left(1\right),\, \left(2\right)\) ta có \(MH=\left(MDE\right)\cap \left(SAB\right).\)

 b) Trong mặt phẳng \(\left(SAB\right)\), gọi \(N=SB\cap MH\). 

 Khi đó ta có \(\left\{\begin{array}{l} {N\in SB} \\ {N\in MH\subset \left(MDE\right)} \end{array}\right. \Rightarrow N=SB\cap \left(MDE\right).\)

 c) Xét ba mặt phẳng \(\left(SAC\right),\, \left(SBD\right),\, \left(MDE\right)\) ta có:

\( \left. \begin{array}{l} {\left(SAC\right)\cap \left(SBD\right)=SO} \\ {\left(SBD\right)\cap \left(MDE\right)=DN} \\ {\left(MDE\right)\cap \left(SAC\right)=ME} \end{array}\right\}\Rightarrow SO,\, DN,\, ME\) đồng quy hoặc

đôi một song song.

 Mà trong mặt \(\left(SBD\right)\) thì \(DN,\, SO\) luôn cắt nhau tại một điểm I.

 Vậy ba đường \(SO,\, DN,\, ME\) đồng quy tại I.