Question

Cho hình chóp tam giác S.ABC . Lấy các điểm M,N,E lần lượt thuộc các cạnh SA,SB và AC sao cho MN cắt AB ở P , ME cắt SC ở Q . Chứng minh rằng ba đường BC,EP,NQ đồng quy.

Answer 1

Gọi giao điểm của EP và BC là K . 

Yêu cầu đề bài tương đương với chứng minh N,K,Q thẳng hàng . 

\(\left\{\begin{array}{l} {N\in MP\Rightarrow N\in \left(MEP\right)} \\ {N\in SB\Rightarrow N\in \left(BSC\right)} \end{array}\right.\)

\(\Rightarrow\)N là điểm chung của hai mặt phẳng \(\left(SBC\right),\left(MEP\right)\, \, \left(1\right) .\)

\(\left\{\begin{array}{l} {K\in BC\Rightarrow K\in \left(SBC\right)} \\ {K\in EP\Rightarrow K\in \left(MEP\right)} \end{array}\right.\)

\(\Rightarrow\)K là điểm chung của hai mặt phẳng \(\left(SBC\right),\left(MEP\right)\, \, \left(2\right) .\)

\(\left\{\begin{array}{l} {Q\in ME\Rightarrow Q\in \left(MEP\right)} \\ {Q\in SC\Rightarrow Q\in \left(SCB\right)} \end{array}\right. \)

\(\Rightarrow\)Q là điểm chung của hai mặt phẳng \(\left(SBC\right),\left(MEP\right)\, \, \left(3\right) .\)
\(\left(1\right)\left(2\right)\Rightarrow NK=\left(SBC\right)\cap \left(MEP\right); \left(1\right)\left(3\right)\)

\(\Rightarrow NQ=\left(SBC\right)\cap \left(MEP\right) .\)

 Do đó  N,K,Q thẳng hàng . Từ đó suy ra BC,EP,NQ đồng quy.