Question

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành; M là điểm thuộc cạnh SD thỏa mãn \(SM=\frac{1}{3} SD\).

 a) Tìm giao điểm của BM với mặt phẳng \(\left(SAC\right).\)

 b) N là một điểm thay đổi trên cạnh BC. Xác định giao tuyến của \(\left(AMN\right)\) và \(\left(SBC\right)\). Chứng minh giao tuyến này luôn đi qua một điểm cố định.

 c) G là trọng tâm tam giác SAB. Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi mp\(\left(MNG\right).\)

Answer 1

a) Tìm giao điểm của BM với mặt phẳng \(\left(SAC\right)\).

Gọi \(O=BD\cap AC\). Ta có \(\left(SBD\right)\cap \left(SAC\right)=SO.\)

Trong mp\(\left(SBD\right)\) gọi \(E=BM\cap SO\). Khi đó \(E=BM\cap \left(SAC\right).\)

 b) N là một điểm thay đổi trên cạnh BC.

Xác định giao tuyến của \(\left(AMN\right)\) và \(\left(SBC\right)\).

Chứng minh giao tuyến này luôn đi qua một điểm cố định.

Gọi \(F=AN\cap DC;\, \, H=FM\cap SC.\)

Ta có N là điểm chung thứ nhất và H là điểm chung thứ hai

của \(\left(AMN\right)\) và \(\left(SBC\right).\)

Suy ra \(\left(AMN\right)\cap \left(SBC\right)=NH.\)

Mặt khác : Qua S kẻ \(Sx\, \, //\, \, AD\), trong mp\(\left(SAD\right)\)

gọi \(AM\cap Sx=J\) cố định.

Khi đó J là điểm chung của \(\left(AMN\right)\) và \(\left(SBC\right).\)

Suy ra \(J\in NH\). Vậy giao tuyến NH luôn đi qua

điểm cố định J.

 c) G là trọng tâm tam giác SAB.

Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi mp\(\left(MNG\right)\).

Gọi I là trung điểm của \(AB,\, \, K=NI\cap BD.\)

Suy ra \(\left(SNI\right)\cap \left(SBD\right)=SK.\)

Trong mp\(\left(SNI\right)\) gọi \(P=NG\cap SK\).

Trong mp\(\left(SBD\right)\) gọi \(Q=MP\cap BD.\)

Trong mp\(\left(ABCD\right)\) kéo dài NQ cắt \(AB;\, \, CD\) lần lượt tại\( L;\, \, T\).

Trong mp\(\left(SCD\right)\) gọi \(V=MT\cap SC\) và trong mp\(\left(SAB\right)\)

gọi \(Z=LG\cap SA.\)

Ta có
\(\left(MNG\right)\cap \left(SAB\right)=ZL \)

\(\left(MNG\right)\cap \left(ABCD\right)=LN\)
\(\left(MNG\right)\cap \left(SBC\right)=NV\)
\(\left(MNG\right)\cap \left(SCD\right)=NM\)
\(\left(MNG\right)\cap \left(SDA\right)=MZ\)
Khi đó ta được thiết diện cần tìm là ngũ giác MVNLZ.