Cho hai số thực x,y thỏa mãn điều kiện 3(x+y)2+5(x−y)2=4. Hỏi có bao nhiêu giá trị nguyên...

Question

Cho hai số thực x,y thỏa mãn điều kiện \(3\left(x+y\right)^{2} +5\left(x-y\right)^{2} =4\). Hỏi có bao nhiêu giá trị nguyên của mthỏa mãn \(m\left(2xy+1\right)=1010\left(x^{2} +y^{2} \right)^{2} +1010\left(x^{2} -y^{2} \right)^{2}\) 

A. 235.
B. 1175.
C. 1176.
D. 236.

Answer 1

Chọn D

Đặt t=xy.
\(3\left(x+y\right)^{2} +5\left(x-y\right)^{2} =4\Leftrightarrow 2\left(x^{2} +y^{2} \right)=xy+1\Rightarrow \)
\(\left\{\begin{array}{l} {x^{2} +y^{2} =\frac{t+1}{2} \quad \left(1\right)} \\ {2\left(x+y\right)^{2} =5xy+1=5t+1\quad \left(2\right)} \end{array}\right.  \)
+ Ta có \(x^{2} +y^{2} \ge 2xy=2t{\mathop{\Rightarrow }\limits^{\left(1\right)}} \; \frac{t+1}{2} \ge 2t\Leftrightarrow t\le \frac{1}{3} .\)

+  Từ \(\left(2\right)\Rightarrow 5t+1\ge 0\Leftrightarrow t\ge -\frac{1}{5} .\)

Phương trình : \(m\left(2{\rm x}y+1\right)=1010\left(x^{2} +y^{2} \right)^{2} +1010\left(x^{2} -y^{2} \right)^{2}  \)
\(\Leftrightarrow \frac{m}{505} =\frac{2\left[\left(x^{2} +y^{2} \right)^{2} +\left(x^{2} +y^{2} \right)^{2} -4x^{2} y^{2} \right]}{2xy+1}  \)
\(\Leftrightarrow \frac{m}{505} =\frac{4\left(\frac{t+1}{2} \right)^{2} -8t^{2} }{2t+1} \Leftrightarrow \frac{m}{505} =\frac{-7t^{2} +2t+1}{2t+1} \) 
Xét hàm số \(f\left(t\right)=\frac{-7t^{2} +2t+1}{2t+1} ,\; \forall t\in \left[-\frac{1}{5} ;\; \frac{1}{3} \right]\)
\(f'\left(t\right)=\frac{-14t^{2} -14t}{\left(2t+1\right)^{2} } ;    f'\left(t\right)=0\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} {t=0\in \left[-\frac{1}{5} ;\; \frac{1}{3} \right]} \\ {t=-1\notin \left[-\frac{1}{5} ;\; \frac{1}{3} \right]} \end{array}\right.  \)



  
Suy ra \(\frac{8}{15} \le \frac{m}{505} \le 1\Leftrightarrow \frac{808}{3} \le m\le 505{\mathop{\Rightarrow }\limits^{m\in {\rm Z}}}\) có 236 giá trị của m thỏa mãn ycbt.