a) Trong tam giác SHI ta có:
\(\frac{SM}{SH} =\frac{SN}{SI} =\frac{2}{3}\)
nên suy ra \(MN\, {\rm //}\, HI\) và \(MN=\frac{2}{3} HI.\) (1)
Trong tam giác ABC ta có HI là đường trung bình
nên \(HI\, {\rm //}\, AC.\)
Nên ta có: \(MN\, {\rm //}\, AC\) .
Chứng minh tương tự ta cũng có: \(EF\, {\rm //}\, AC.\)
Suy ra: \(EF\, {\rm //}\, MN \).
Vậy bốn điểm M, N, E, F đồng phẳng.
b) Tương tự (1) ta có:
\(MN=\frac{2}{3} HI,NE=\frac{2}{3} IJ,EF=\frac{2}{3} JK,FM=\frac{2}{3} KH.\)
Vì ABCD là hình chữ nhật nên: \(HI=IJ=JK=KH.\)
Nên: \(MN=NE=EF=FM\). Vậy MNEF là hình thoi.
c) Gọi P là giao điểm của ME và NF.
Suy ra P là điểm chung của hai mặt phẳng (SHJ) và (SIK). (2)
Dễ thấy \(O=HJ\cap IK\) nên ta có: \((SHJ)\cap (SIK)=SO. \) (3)
Từ (2) và (3) ta suy ra SO phải đi qua điểm P hay
ME, NF và SO đồng quy tại P.