Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn đồng thời các điều kiện |z-i|=5 và z^2 là số thuần ảo.

Question

Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn đồng thời các điều kiện \(\left|z-i\right|=5\) và \(z^{2}\)  là số thuần ảo.

A. 2.

B. 3.

C. 4.

D.0.

Answer 1

Chọn C

Đặt \(z=a+bi{\rm \; \; (}a,b\in {\rm R}).\)

Ta có \(\left|z-i\right|=5\)
\(\begin{array}{l} {\Leftrightarrow \left|a+(b-1)i\right|=5} \\ {\Leftrightarrow \sqrt{a^{2} +(b-1)^{2} } =5} \\ {\Leftrightarrow a^{2} +(b-1)^{2} =25} \\ {\Leftrightarrow a^{2} +b^{2} -2b+1=25{\rm \; }\left(1\right)} \end{array}\)
Lại có \(z^{2} =\left(a+bi\right)^{2} =a^{2} -b^{2} +2abi\) ,

mà \(z^{2}\)  là số thuần ảo nên \(a^{2} -b^{2} =0\Leftrightarrow a^{2} =b^{2} (2)\)

Từ \((1) \) và \((2)\) \(\Rightarrow 2b^{2} -2b+1=25\Leftrightarrow 2b^{2} -2b-24=0\)

\(\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} {b=-3} \\ {b=4} \end{array}\right. .\)

Với \(b=4\Rightarrow a=\pm 4.\)

Với \(b=-3\Rightarrow a=\pm 3.\)

Vậy có 4 số phức z thỏa mãn yêu cầu bài toán.