Cho hình nón tròn xoay có chiều cao h=20cm, bán kính đáy r. Một thiết diện đi qua đỉnh của hình nón có chu vi là...

Question

Cho hình nón tròn xoay có chiều cao \(h=20\, \left({\rm cm}\right),\) bán kính đáy r. Một thiết diện đi qua đỉnh của hình nón có chu vi là \(40+10\sqrt{41} \, \left({\rm cm}\right)\) và khoảng cách từ tâm đáy đến mặt phẳng chứa thiết diện là \(12\, \left({\rm cm}\right)\). Tính thể tích của khối nón.

\(A. V=\frac{12500\pi }{3} \, \left({\rm cm}^{3} \right). \)

\(B. V=\frac{\pi }{3} \, \left({\rm cm}^{3} \right). \)

\(C. V=4167\pi \, \left({\rm cm}^{3} \right). \)

\(D. V=\frac{500\pi }{3} \, \left({\rm cm}^{3} \right).\)

Answer 1

Chọn A

Theo bài ra ta có SO=h=20; OK=12 (Hình vẽ).

Lại có

\(\frac{1}{OK^{2} } =\frac{1}{OI^{2} } +\frac{1}{OS^{2} } \Rightarrow OI=15\, \left({\rm cm}\right). \)

\(AB=2AI=2\sqrt{r^{2} -15^{2} } \, \left({\rm cm}\right)\)

\( SA=\sqrt{SO^{2} +OA^{2} } =\sqrt{r^{2} +20^{2} } \, \left({\rm cm}\right). \)
Mà chu vi thiết diện là \(40+10\sqrt{41} \, \left({\rm cm}\right)\) nên ta có:
\(AB+SA+SB=40+10\sqrt{41} \,\)

\( \Leftrightarrow 2\sqrt{r^{2} -225} +2\sqrt{r^{2} +400} =40+10\sqrt{41} \)

\(\Leftrightarrow r=25\, \left({\rm cm}\right). \)
Vậy thể tích khối nón:

\(V_{n} =\frac{1}{3} \pi r^{2} h=\frac{1}{3} \pi .25^{2} .20=\frac{12500\pi }{3} \, \left({\rm cm}^{3} \right).\)