Cho hình nón có chiều cao h=40, nội tiếp mặt cầu S(O;R) với R=205/4. Một thiết diện đi qua đỉnh của...

Question

Cho hình nón có chiều cao h=40 nội tiếp mặt cầu \(S(O;\, R) \) với \(R=\frac{205}{4} \, .\) Một thiết diện đi qua đỉnh của hình nón có khoảng cách từ tâm của đáy hình nón đến mặt phẳng chứa thiết diện là \(24\, .\) Tính diện tích của thiết diện. 

A. S=800, .

B. S=1200.

C. S=1600.

D. S=2000.

Answer 1

Chọn D

Do \(h=40\, <R=\frac{205}{4} \Rightarrow IO=R-h=\frac{45}{4} .\)

Xét tam giác vuông AIO có

\(r=IA=\sqrt{R^{2} -OI^{2} } =\sqrt{\left(\frac{205}{4} \right)^{2} -\left(\frac{45}{4} \right)^{2} } =50 \)

Gọi J là trung điểm của CD, ta có

\(\left. \begin{array}{c} {CD\bot IJ} \\ {CD\bot SI} \end{array}\right\}\Rightarrow CD\bot (SIJ)\Rightarrow (SCD)\bot (SIJ).\)

Gọi\( IH\bot SJ\) tại \(H\Rightarrow IH\bot (SCD)\Rightarrow IH=d(I;\, (SCD))=24.\)

Xét tam giác vuông SIJ ta có

\(\frac{1}{IH^{2} } =\frac{1}{SI^{2} } +\frac{1}{IJ^{2} } \Rightarrow \frac{1}{IJ^{2} } =\frac{1}{IH^{2} } -\frac{1}{SI^{2} } =\frac{1}{24^{2} } -\frac{1}{40^{2} } \Rightarrow IJ=30.\)

Xét tam giác vuông CIJ ta có \(CJ=\sqrt{r^{2} -IJ^{2} } =\sqrt{50^{2} -30^{2} } =40.\)

Xét tam giác vuông SIJ ta có \(SJ=\sqrt{40^{2} +30^{2} } =50.\)

Vậy \(S_{\Delta SCD} =\frac{1}{2} SJ.CD=\frac{1}{2} .50.80=2000. \)