Question

Cho hình nón có chiều cao \(h=4\, \) nội tiếp mặt cầu \(S(O;\, R)\). Tính diện tích của thiết diện đi qua đỉnh và cắt đáy của hình nón theo một cung có số đo \(120{}^\circ\)  biết khối cầu có thể tích là \(36\pi .\)

\(A. S=6\sqrt{2} . \)

\(B. S=3\sqrt{2}\) .

\(C. S=3\sqrt{3} . \)

\(D. S=6\sqrt{3} .\)

Answer 1

Chọn D

Theo giả thiết \(36\pi =V=\frac{4}{3} \pi R^{3} \Rightarrow R=3. \)

Ta có \(h=4\, >R=3\Rightarrow IO=h-R=1.\)

Ta có \(r=\sqrt{R^{2} -OI^{2} } =\sqrt{3^{2} -1^{2} } =2\sqrt{2} .\)

Xét tam giác cân ABI có 
\(AB^{2} =IA^{2} +IB^{2} -2.IA.IB.{\rm cos}\widehat{AIB}\)

\(=(2\sqrt{2} )^{2} +(2\sqrt{2} )^{2} -2.(2\sqrt{2} ).(2\sqrt{2} ).{\rm cos}120{}^\circ =24 \)
\(\Rightarrow AB=2\sqrt{6} . \)
Gọi J là trung điểm của AB. 

Xét tam giác vuông IJA có

\(IJ=\sqrt{IA^{2} -AJ^{2} } =\sqrt{(2\sqrt{2} )^{2} -(\sqrt{6} )^{2} } =\sqrt{2} .\)

Xét tam giác vuông SIJ có

\(SJ=\sqrt{SI^{2} +IJ^{2} } =\sqrt{4^{2} +(\sqrt{2} )^{2} } =3\sqrt{2} \).

Vậy \(S_{\Delta SAB} =\frac{1}{2} .SJ.AB=\frac{1}{2} .3\sqrt{2} .2\sqrt{6} =6\sqrt{3} \).