Question

Cho hình nón có đỉnh S. Thiết diện đi qua trục của hình nón là một tam giác vuông cân có cạnh huyền bằng \(4a\sqrt{2}\) . Biết BC là một dây cung đường tròn của đáy hình nón sao cho mặt phẳng \(\left(SBC\right)\) tạo với mặt phẳng đáy hình nón một góc \(60{}^\circ\) . Tính diện tích \(\Delta SBC.\)

\(A. \frac{16\sqrt{2} a^{2} }{9} . \)

\(B. \frac{8\sqrt{2} a^{2} }{9} . \)

\(C. \frac{8\sqrt{2} a^{2} }{3} . \)

\(D. \frac{16\sqrt{2} a^{2} }{3} .\)

Answer 1

Chọn D

Gọi O là tâm của đáy, I là trung điểm của BC.

Thiết diện qua trục của hình nón là tam giác vuông cân

nên \(SO=r=2a\sqrt{2} .\)

Ta có góc tạo bởi giữa \(\left(SBC\right)\) tạo với mặt đáy là góc \(\widehat{SIO}=60{}^\circ .\)

Vì \(\Delta SOI\) vuông tại O nên ta có \(SI=\frac{SO}{\sin \widehat{SIO}} =\frac{2a\sqrt{2} }{\sin 60{}^\circ } =\frac{4a\sqrt{6} }{3}\)  

và \(OI=SO.\cot \widehat{SIO}=2a\sqrt{2} .\cot 60{}^\circ =\frac{2a\sqrt{6} }{3} \).

Vì \(\Delta BOI\) vuông tại I

nên \(BI=\sqrt{OB^{2} -OI^{2} } =\sqrt{\left(2a\sqrt{2} \right)^{2} -\left(\frac{2a\sqrt{6} }{3} \right)^{2} } =\frac{4a\sqrt{3} }{3} \)

\(\Rightarrow BC=2BI=2.\frac{4a\sqrt{3} }{3} =\frac{8a\sqrt{3} }{3} .\)
\(\Rightarrow S_{\Delta SBC} =\frac{1}{2} .SI.BC=\frac{1}{2} .\frac{4a\sqrt{6} }{3} .\frac{8a\sqrt{3} }{3} =\frac{16\sqrt{2} a^{2} }{3} .\)