Question

Một xưởng cơ khí nhận làm những chiếc thùng phi với thể tích theo yêu cầu là \(16\pi \; {\rm m}^{3}\)  mỗi chiếc. Hỏi thùng phải có kích thước (h: chiều cao của thùng, r: bán kính đáy thùng) thế nào để tiết kiệm vật liệu nhất ?

\(A. h=2\; {\rm m},\; r=4\; {\rm m}.  \)

\(B. h=3\; {\rm m},\; r=2\; {\rm m}\)

\(C. h=4\; {\rm m},\; r=2\; {\rm m}.  \)

\(D. h=2\; {\rm m},\; r=3\; {\rm m}.\)

Answer 1

Chọn C

Do thùng phi có dạng hình trụ kính hai đầu nên: 

Gọi x: là bán kính đáy thùng \(\left({\rm m}\right) (x>0)\)

h: là chiều cao của thùng \(\left({\rm m}\right) (h>0)\)

Thể tích của thùng: \(V=\pi .x^{2} .h=16\pi \Leftrightarrow h=\frac{16}{x^{2} } \)

Diện tích toàn phần của thùng:

\(f\left(x\right)=S_{TP} =S_{XQ} +2.S_{D} =2\pi .x.h+2\pi .x^{2} =\frac{32\pi }{x} +2\pi .x^{2} \)
\(\Rightarrow f'\left(x\right)=-\frac{32\pi }{x^{2} } +4\pi .x=\frac{-32\pi +4\pi x^{3} }{x^{2} } =\frac{4\pi (x^{3} -8)}{x^{2} }   \)

\(f'\left(x\right)=0\Leftrightarrow x^{3} -8=0\Leftrightarrow x=2 \)
Bảng biến thiên

Vậy, ta cần tạo ra thùng có kích thước:

\(x=r=2\; {\rm m}\Rightarrow h=\frac{16}{4} =4\; {\rm m}\)