Question

Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn tâm O đường kính AA', I là trung điểm BC. Khi quay tam giác ABI cùng với nửa hình tròn đường kính AA' xung quanh đường thẳng AI (như hình vẽ minh họa), ta được khối nón và khối cầu có thể tích lần lượt là \(V_{1}\)  và \(V_{2} .\)

Tỷ số \(\frac{V_{2} }{V_{1} }\)  bằng

\(A. \frac{32}{9} . \)

\(B. \frac{9}{4} . \)

\(C. \frac{32}{27} . \)

\(D. \frac{4}{9} .\)

Answer 1

Chọn A

Gọi độ dài cạnh của tam giác ABC là a.

Khi đó khối nón tạo thành có bán kính đáy là:

\(r=BI=\frac{a}{2} ; \)chiều cao \(h=AI=\frac{a\sqrt{3} }{2} \)

Thể tích khối nón là \(V_{1} =\frac{1}{3} \pi r^{2} h=\frac{1}{3} .\pi .\left(\frac{a}{2} \right)^{2} .\frac{a\sqrt{3} }{2} =\frac{\pi a^{3} \sqrt{3} }{24} \)

Khối cầu tạo thành có bán kính là \(R=\frac{2}{3} AI=\frac{a\sqrt{3} }{3} \)

Thể tích khối cầu là:\( V_{2} =\frac{4}{3} \pi R^{3} =\frac{4}{3} .\pi .\left(\frac{a\sqrt{3} }{3} \right)^{3} =\frac{4\pi a^{3} \sqrt{3} }{27} \)

Suy ra: \(\frac{V_{2} }{V_{1} } =\frac{4\pi a^{3} \sqrt{3} }{27} :\frac{\pi a^{3} \sqrt{3} }{24} =\frac{32}{9} \).