Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm liên tục trên R và bảng xét dấu đạo hàm...

Question

Cho hàm số \(y=f\left(x\right)\) có đạo hàm liên tục trên \({\rm R}\) và bảng xét dấu đạo hàm

Hàm số \(y=3f\left(-x^{4} +4x^{2} -6\right)+2x^{6} -3x^{4} -12x^{2}\)  có bao nhiêu điểm cực tiểu?

A. 1.

B. 2.

C. 0.

D. 3.

Answer 1

Chọn B

Xét hàm số \(y=g\left(x\right)=3f\left(-x^{4} +4x^{2} -6\right)+2x^{6} -3x^{4} -12x^{2}\)  

có tập xác định \(D={\rm R}.\)

Có \(g'\left(x\right)=3\left(-4x^{3} +8x\right)f'\left(-x^{4} +4x^{2} -6\right)+12x^{5} -12x^{3} -24x\)
\(=12x\left(-x^{2} +2\right)f'\left(-x^{4} +4x^{2} -6\right)+12x\left(x^{4} -x^{2} -2\right) \)
\(=12x\left(-x^{2} +2\right)f'\left(-x^{4} +4x^{2} -6\right)+12x\left(x^{2} -2\right)\left(x^{2} +1\right) \)
\(=12x\left(-x^{2} +2\right)\left[f'\left(-x^{4} +4x^{2} -6\right)-\left(x^{2} +1\right)\right] \)

Có \(-x^{4} +4x^{2} -6=-\left(x^{4} -4x^{2} +6\right)=-\left[\left(x^{2} -2\right)^{2} +2\right]\)

\(=-\left(x^{2} -2\right)^{2} -2\le -2,\forall x \Rightarrow f'\left[-\left(x^{2} -2\right)^{2} -2\right]<0, (theo bbt).\)

Suy ra \(\left[f'\left(-x^{4} +4x^{2} -6\right)-\left(x^{2} +1\right)\right]<0\)

Do đó \(g'\left(x\right)=0\Leftrightarrow 12x\left(-x^{2} +2\right)=0\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} {x=0} \\ {x=-\sqrt{2} } \\ {x=\sqrt{2} } \end{array}\right. .\)

Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên hàm số \(y=g\left(x\right)\) có hai điểm cực tiểu.