Cho hàm số y=f(x) xác định và liên tục trên R có f'(x)=(x-2)(x+5)(x+1) và f(2)=1. Hàm số g(x)=[f(x^2)]^2...

Question

Cho hàm số \(y=f\left(x\right)\) xác định và liên tục trên \({\rm R}\) có \(f'\left(x\right)=\left(x-2\right)\left(x+5\right)\left(x+1\right)\) và \(f\left(2\right)=1.\) Hàm số \(g\left(x\right)=\left[f\left(x^{2} \right)\right]^{2}\)  có bao nhiêu điểm cực trị?

A. 1.

B. 2.

C. 3.

D. 5.

Answer 1

Chọn C

Từ giả thiết ta có

\(f'\left(x\right)=\left(x-2\right)\left(x+5\right)\left(x+1\right)\Rightarrow f'\left(x\right)=0\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} {x=2} \\ {x=-5} \\ {x=-1} \end{array}\right. \)

Bảng biến thiên của \(y=f\left(x\right)\)

Từ BBT suy ra \(f\left(x\right)>0,\, \, \, \forall x\ge 0 \) 

nên \(f\left(x^{2} \right)>0,\forall x\in {\rm R}\)

Xét hàm số \(g\left(x\right)=\left[f\left(x^{2} \right)\right]^{2}  g'\left(x\right)=\left(\left(f\left(x^{2} \right)\right)^{2} \right)^{{'} } \)

\(=4x.f\left(x^{2} \right)f'\left(x^{2} \right)=4x\left(x^{2} -2\right)\left(x^{2} +5\right)\left(x^{2} +1\right)f\left(x^{2} \right)\)

Xét \(g'\left(x\right)=0\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} {x=0} \\ {x=\pm \sqrt{2} } \end{array}\right. \)

BBT của \(g\left(x\right)=\left[f\left(x^{2} \right)\right]^{2} \)

Từ BBT trên suy ra hàm số \(g\left(x\right)=\left[f\left(x^{2} \right)\right]^{2}\)  

có ba điểm cực trị.