Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm trên R. Đồ thị của y=f'(x) như hình dưới đây....

Question

Cho hàm số \(y=f\left(x\right)\) có đạo hàm trên \({\rm R}\). Đồ thị của \(y=f'\left(x\right)\) như hình dưới đây

Số điểm cực trị của hàm số \(g\left(x\right)=f\left(4x^{2} -4x\right)\) là

A. 3.

B. 5.

C. 7.

D. 6.

Answer 1

Chọn A

Cách 1.

Ta có \(g'\left(x\right)=4\left(2x-1\right)f'\left(4x^{2} -4x\right).\)

Từ đồ thị suy ra \(f'\left(x\right)<0\Leftrightarrow a<x<b\).

Suy ra \(f'\left(4x^{2} -4x\right)<0\Leftrightarrow a<4x^{2} -4x<b\)

\(\Leftrightarrow \frac{1-\sqrt{1+b} }{2} <x<\frac{1+\sqrt{1+b} }{2} ,b\in \left(-1;0\right) \)

(vì \(4x^{2} -4x>a,\forall x\in {\rm R}\) với a<-1).</p>

Bảng xét dấu \(g'\left(x\right)\)

Từ bảng biến thiên suy ra số cực trị của

hàm số \(y=g\left(x\right)\) là 3.

Cách 2.

Từ đồ thị của hàm số \(y=f'\left(x\right)\) ta có

\( f'\left(x\right)=0\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} {x=a\in \left(-\infty ;-1\right)} \\ {x=b\in \left(-1;0\right)} \\ {x=1\left(nghiệm{\rm \; }kép\right)} \end{array}\right. .\)

Ta có

\(g\left(x\right)=f\left(4x^{2} -4x\right)\Rightarrow g'\left(x\right)=4\left(2x-1\right)f'\left(4x^{2} -4x\right).\)

Khi đó
\(g'\left(x\right)=0\Rightarrow \left[\begin{array}{l} {2x-1=0} \\ {4x^{2} -4x=a\in \left(-\infty ;-1\right)} \\ {4x^{2} -4x=b\in \left(-1;0\right)} \\ {4x^{2} -4x=1\left(nghiệm\, kép\right)} \end{array}\right. . \)
Đặt \(h\left(x\right)=4x^{2} -4x.\)

\(2x-1=0\Rightarrow x=\frac{1}{2}\)  và \(h\left(\frac{1}{2} \right)=-1 \Rightarrow f'\left(-1\right)=-3\ne 0.\)

\(4x^{2} -4x=\left(2x-1\right)^{2} -1\ge -1\Rightarrow 4x^{2} -4x=a\in \left(-\infty ;-1\right)\)

vô nghiệm.

\(4x^{2} -4x=b\in \left(-1;0\right)\Rightarrow \Delta '=4\left(1+b\right)>0\),

phương trình có hai nghiệm phân biệt \(x_{1} ;x_{2}\)  đều khác \(\frac{1}{2} .\)
\(4x^{2} -4x=1\left(nghiệm\, kép\right)\Rightarrow \left[\begin{array}{l} {x=\frac{1-\sqrt{2} }{2} \left(nghiệm\, bậc\, hai\right)} \\ {x=\frac{1+\sqrt{2} }{2} \left(nghiệm\, bậc\, hai\right)} \end{array}\right. . \)
Vậy hàm số \(g\left(x\right)=f\left(4x^{2} -4x\right)\) có số điểm cực trị là 3.