Cho hàm số bậc bốn y=f(x) có đồ thị như hình vẽ dưới đây....

Question

Cho hàm số bậc bốn \(y=f\left(x\right)\) có đồ thị như hình vẽ dưới đây.

Số điểm cực trị của hàm số \(g\left(x\right)=f\left(x^{3} -3x^{2} \right)\) là

A. 5.

B. 6.

C. 7.

D. 8.

Answer 1

Chọn C

Ta có: \(g\left(x\right)=f\left(x^{3} -3x^{2} \right)\Rightarrow g'\left(x\right)\)

\(=\left(3x^{2} -6x\right)f'\left(x^{3} -3x^{2} \right). g'\left(x\right)=\left(3x^{2} -6x\right)f'\left(x^{3} -3x^{2} \right)=0\)

\(\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} {x=0} \\ {x=2} \\ {f'\left(x^{3} -3x^{2} \right)=0} \end{array}\right.\) \(\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} {x=0} \\ {x=2} \\ {x^{3} -3x^{2} =a\in \left(-2;0\right)} \\ {x^{3} -3x^{2} =b\in \left(0;1\right)} \\ {x^{3} -3x^{2} =c\in \left(1;2\right)} \end{array}\right. . \)
Xét phương trình \(x^{3} -3x^{2} =m.\)

Hàm số \(y=x^{3} -3x^{2} \Rightarrow y'=3x^{2} -6x\)

có các nghiệm x=0; x=2.

Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên ta có:

- Phương trình \(x^{3} -3x^{2} =a\in \left(-2;0\right)\)

có 3 nghiệm phân biệt \(x_{1} ,x_{2} ,x_{3} .\)

- Phương trình \(x^{3} -3x^{2} =b\in \left(0;1\right)\) có 1 nghiệm \(x_{4} .\)

- Phương trình \(x^{3} -3x^{2} =c\in \left(1;2\right)\) có 1 nghiệm \(x_{5} .\)

Nhận thấy: \(x_{1} ,x_{2} ,x_{3} ,x_{4} ,x_{5}\)  phân biệt và khác \(0;2.\)

Vậy \(g'\left(x\right)\) có 7 nghiệm đơn phân biệt do đó

hàm số \(g\left(x\right)=f\left(x^{3} -3x^{2} \right)\) có 7 điểm cực trị.